Sorunun Çözümü
- A noktasını orijin kabul edelim: $A=(0,0)$.
- $[AG] \perp [AC]$ olduğu için, AC kenarını x ekseni, AG kenarını y ekseni üzerinde düşünebiliriz.
- $|AG|=12$ cm olduğundan G noktasının koordinatları $G=(0,12)$ olur.
- $|AC|=x$ cm olduğundan C noktasının koordinatları $C=(x,0)$ olur.
- B noktasının koordinatları $B=(x_B, y_B)$ olsun. G ağırlık merkezi olduğundan, koordinatları üçgenin köşe koordinatlarının ortalamasıdır: $G = \left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.
- Koordinatları yerine yazarsak: $(0,12) = \left(\frac{0+x_B+x}{3}, \frac{0+y_B+0}{3}\right)$.
- x koordinatından: $0 = \frac{x_B+x}{3} \implies x_B = -x$.
- y koordinatından: $12 = \frac{y_B}{3} \implies y_B = 36$. Böylece $B=(-x, 36)$ olur.
- $|BG|=30$ cm olduğu verilmiştir. B ve G noktaları arasındaki uzaklık formülünü kullanalım: $|BG|^2 = (x_B-x_G)^2 + (y_B-y_G)^2$.
- $30^2 = (-x-0)^2 + (36-12)^2$.
- $900 = (-x)^2 + (24)^2$.
- $900 = x^2 + 576$.
- $x^2 = 900 - 576$.
- $x^2 = 324$.
- $x = \sqrt{324} = 18$ cm.
- Doğru Seçenek C'dır.