Sorunun Çözümü
- Verilen bilgilere göre, $\triangle ABD$ üçgeninde $|AB| = |AD| = 6 cm$'dir.
- $\triangle ABD$ bir ikizkenar üçgendir. Eğer $\angle ADB \ge 90^\circ$ olsaydı, kosinüs teoremine göre $AB^2 \ge AD^2 + BD^2$ olurdu.
- $6^2 \ge 6^2 + BD^2 \implies 36 \ge 36 + BD^2 \implies BD^2 \le 0$. Bu durumda $BD=0$ olmalıdır, yani B ve D noktaları çakışır.
- Ancak $|DC|=7 cm$ olduğu için D noktası B noktasından farklıdır. Bu nedenle $\angle ADB$ açısı $90^\circ$'den küçük olmalıdır ($0^\circ < \angle ADB < 90^\circ$).
- D noktası BC doğrusu üzerinde olduğundan, $\angle ADB$ ve $\angle ADC$ bütünler açılardır ($ \angle ADB + \angle ADC = 180^\circ $).
- $\angle ADB$ dar açı olduğundan, $\angle ADC$ geniş açı olmalıdır ($90^\circ < \angle ADC < 180^\circ$).
- $\triangle ADC$ üçgeninde kosinüs teoremini uygulayalım: $x^2 = |AD|^2 + |DC|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |DC| \cdot \cos(\angle ADC)$.
- $x^2 = 6^2 + 7^2 - 2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot \cos(\angle ADC) \implies x^2 = 36 + 49 - 84 \cos(\angle ADC) \implies x^2 = 85 - 84 \cos(\angle ADC)$.
- $\angle ADC$ geniş açı olduğu için $\cos(\angle ADC)$ değeri negatiftir ve $-1 < \cos(\angle ADC) < 0$ aralığındadır.
- Bu aralığı $x^2$ denklemine uygulayalım:
- $\cos(\angle ADC) \to 0$ için: $x^2 > 85 - 84 \cdot 0 \implies x^2 > 85$.
- $\cos(\angle ADC) \to -1$ için: $x^2 < 85 - 84 \cdot (-1) \implies x^2 < 85 + 84 \implies x^2 < 169$.
- Böylece $85 < x^2 < 169$ eşitsizliğini elde ederiz.
- Her tarafın karekökünü alırsak: $\sqrt{85} < x < \sqrt{169} \implies \sqrt{85} < x < 13$.
- $9^2 = 81$ ve $10^2 = 100$ olduğundan, $9 < \sqrt{85} < 10$'dur. Yani $9.\dots < x < 13$.
- $x$'in alabileceği tam sayı değerleri $10, 11, 12$'dir.
- Toplamda 3 farklı tam sayı değeri vardır.
- Doğru Seçenek B'dır.