Verilen sorunun çözümü adımları aşağıdadır:

• Paralel Doğruları ve Benzer Üçgenleri Belirleme:
  `[DE] \perp [BC]` ve `[FH] \perp [BC]` olduğu için `DE` ve `FH` doğruları birbirine paraleldir (`DE \parallel FH`).
  `A` noktasından `BC` kenarına indirilen dikmenin ayağına `A'` diyelim. Bu durumda `AA' \perp BC` olur.
  `DE \parallel AA'` ve `FH \parallel AA'` olduğu sonucuna varılır.
• `A` Noktasından `BC` Kenarına Olan Yüksekliği Bulma:
  `D` noktası `AB` kenarının orta noktasıdır (`|AD| = |DB|`).
  `\triangle BDE` ve `\triangle BAA'` üçgenleri benzerdir (açı-açı benzerliği: `\angle B` ortak, `\angle BED = \angle BA'A = 90^\circ`).
  Benzerlik oranı `|BD| / |BA| = 1/2`'dir.
  Bu benzerlikten dolayı `|DE| / |AA'| = 1/2` eşitliği geçerlidir.
  `|DE| = 6` cm olarak verildiğinden, `6 / |AA'| = 1/2 \implies |AA'| = 12` cm bulunur. Yani, `A` noktasından `BC`'ye olan yükseklik 12 cm'dir.
• `x` Değerini Hesaplama:
  `F` noktası `AC` kenarı üzerinde `|FC| = 3|AF|` oranını sağlamaktadır. Bu durumda `|AC| = |AF| + |FC| = |AF| + 3|AF| = 4|AF|` olur.
  Dolayısıyla `|FC| / |AC| = 3|AF| / (4|AF|) = 3/4`'tür.
  `\triangle CFH` ve `\triangle CAA'` üçgenleri benzerdir (açı-açı benzerliği: `\angle C` ortak, `\angle CHF = \angle CA'A = 90^\circ`).
  Benzerlik oranı `|FC| / |AC| = 3/4`'tür.
  Bu benzerlikten dolayı `|FH| / |AA'| = 3/4` eşitliği geçerlidir.
  `|FH| = x` ve `|AA'| = 12` cm değerlerini yerine yazarsak:
  `x / 12 = 3/4`
  `x = (3/4) \cdot 12`
  `x = 3 \cdot 3`
  `x = 9` cm bulunur.
• Doğru Seçenek B'dır.