Verilen problemde, ABC ikizkenar dik üçgeni biçimindeki bir kağıt, AB kenarı AC kenarı üzerine gelecek şekilde [AD] boyunca katlanıyor. Bu durumda, $\frac{|CD|}{|AB|}$ oranını bulmamız isteniyor.

• 1. İlk Durumu Belirleme:

  ABC bir ikizkenar dik üçgen olduğu için, $\angle B = 90^\circ$ ve $|AB| = |BC|$'dir. Ayrıca, $\angle BAC = \angle BCA = 45^\circ$ olur.

• 2. Katlama Özelliklerini Kullanma:

  Kağıt [AD] boyunca katlandığında, B noktası AC kenarı üzerindeki B' noktasına gelir.

  • Katlama nedeniyle uzunluklar korunur: $|AB| = |AB'|$.
  • Katlama nedeniyle açılar korunur: $\angle AB'D = \angle ABD = 90^\circ$.
  • Katlama nedeniyle uzunluklar korunur: $|BD| = |B'D|$.
• 3. Kenar Uzunluklarına Değişken Atama:

  $|AB| = x$ diyelim. O zaman $|BC| = x$ olur.

  Pisagor Teoremi'nden $|AC| = \sqrt{|AB|^2 + |BC|^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = x\sqrt{2}$ olur.

• 4. B'C Uzunluğunu Bulma:

  Katlama özelliğinden $|AB'| = |AB| = x$ olduğunu biliyoruz.

  B' noktası AC üzerinde olduğundan, $|B'C| = |AC| - |AB'| = x\sqrt{2} - x = x(\sqrt{2}-1)$ olur.

• 5. $\triangle DB'C$ Üçgenini İnceleme:

  $\triangle DB'C$ üçgeninde, $\angle DB'C = 90^\circ$ (katlama özelliğinden) ve $\angle C = 45^\circ$ (ikizkenar dik üçgen özelliğinden).

  Üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan, $\angle CDB' = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ olur.

  Bu durumda, $\triangle DB'C$ de bir ikizkenar dik üçgendir ve $|DB'| = |B'C|$'dir.

• 6. BD Uzunluğunu Bulma:

  Önceki adımdan $|DB'| = |B'C| = x(\sqrt{2}-1)$ olduğunu bulduk.

  Katlama özelliğinden $|BD| = |B'D|$ olduğu için, $|BD| = x(\sqrt{2}-1)$ olur.

• 7. CD Uzunluğunu Bulma:

  BC kenarı, BD ve CD parçalarından oluşur: $|BC| = |BD| + |CD|$.

  Değerleri yerine yazarsak: $x = x(\sqrt{2}-1) + |CD|$.

  Buradan $|CD| = x - x(\sqrt{2}-1) = x - x\sqrt{2} + x = 2x - x\sqrt{2} = x(2-\sqrt{2})$ olur.

• 8. Oranı Hesaplama:

  İstenen oran $\frac{|CD|}{|AB|}$'dir.

  $\frac{|CD|}{|AB|} = \frac{x(2-\sqrt{2})}{x} = 2-\sqrt{2}$.

Cevap D seçeneğidir.