Verilen soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Katlama Özelliğini Kullanma:

  Kartın B köşesinden [DE] boyunca katlanmasıyla B noktası B' noktasına gelmiştir. Bu durumda katlama özelliği gereği, katlanan kısımlar eşittir. Yani, \(|BE| = |EB'|\) olur. Soruda \(|EB'| = 4\) birim verildiği için, \(|BE| = 4\) birimdir.

• 2. BC Uzunluğunu Hesaplama:

  Şekil 2'de E, B' ve C noktaları doğrusaldır. Bu durumda \(|EC| = |EB'| + |B'C|\) olur. Verilen değerlerle \(|EC| = 4 + 7 = 11\) birimdir.

  ABC dik üçgeninde E noktası BC kenarı üzerindedir. Dolayısıyla, \(|BC| = |BE| + |EC|\) olur. Hesapladığımız değerleri yerine koyarsak, \(|BC| = 4 + 11 = 15\) birim bulunur.

• 3. Benzer Üçgenleri Belirleme:

  Soruda ABC üçgeninin dik üçgen olduğu ve \(|AB| \perp |AC|\) (yani \(\angle BAC = 90^\circ\)) belirtilmiştir. Ayrıca, \(|DE| \perp |BC|\) (yani \(\angle DEB = 90^\circ\)) verilmiştir.

  Şekil 1'deki \(\triangle DEB\) ve \(\triangle CAB\) üçgenlerine bakalım:

  • \(\angle B\) açısı her iki üçgen için de ortaktır.
  • \(\angle DEB = 90^\circ\) ve \(\angle CAB = 90^\circ\).

  İki açısı eşit olduğu için bu iki üçgen benzerdir: \(\triangle DEB \sim \triangle CAB\).

• 4. Benzerlik Oranlarını Kullanarak DB Uzunluğunu Bulma:

  Benzer üçgenlerin kenar oranları eşittir:

  \(\frac{|DE|}{|CA|} = \frac{|EB|}{|AB|} = \frac{|DB|}{|CB|}\)

  Bilinen değerleri yerine yazalım:

  • \(|EB| = 4\)
  • \(|BC| = 15\)
  • \(|AD| = 7\)
  • \(|AB| = |AD| + |DB| = 7 + |DB|\)

  İkinci ve üçüncü oranları kullanarak \(|DB|\) değerini bulalım:

  \(\frac{4}{7 + |DB|} = \frac{|DB|}{15}\)

  \(4 \times 15 = |DB| \times (7 + |DB|)\)

  \(60 = 7|DB| + |DB|^2\)

  \(|DB|^2 + 7|DB| - 60 = 0\)

  Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım:

  \((|DB| + 12)(|DB| - 5) = 0\)

  Uzunluk negatif olamayacağı için \(|DB| = 5\) birimdir.

• 5. AB Uzunluğunu Hesaplama:

  \(|AB| = |AD| + |DB| = 7 + 5 = 12\) birimdir.

• 6. AC Uzunluğunu x Cinsinden İfade Etme:

  Benzerlik oranlarından ilk ikisini kullanalım:

  \(\frac{|DE|}{|CA|} = \frac{|EB|}{|AB|}\)

  \(\frac{x}{|CA|} = \frac{4}{12}\)

  \(\frac{x}{|CA|} = \frac{1}{3}\)

  Buradan \(|CA| = 3x\) birim bulunur.

• 7. Pisagor Teoremini Kullanarak x'i Bulma:

  \(\triangle ABC\) bir dik üçgen olduğu için Pisagor teoremini uygulayabiliriz:

  \(|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2\)

  Bilinen değerleri yerine yazalım:

  \(12^2 + (3x)^2 = 15^2\)

  \(144 + 9x^2 = 225\)

  \(9x^2 = 225 - 144\)

  \(9x^2 = 81\)

  \(x^2 = 9\)

  Uzunluk pozitif olacağı için \(x = 3\) birimdir.

Cevap A seçeneğidir.