Bu problem, bir trafik levhasının K noktası etrafında dönerek yan yatması durumunda D' köşesinin yerden yüksekliğini bulmayı amaçlamaktadır. Adım adım çözelim:

1. Başlangıç Durumunu (Şekil 1) Anlama ve Koordinatları Belirleme:
   • K noktasını orijin (0,0) olarak kabul edelim.
   • A köşesinin yere uzaklığı 15 birimdir. Bu, AB kenarının yerden 15 birim yükseklikte olduğu anlamına gelir.
   • F noktası K noktasının tam üzerinde ve AB kenarı üzerinde yer alır. Dolayısıyla F noktasının koordinatları (0, 15)'tir.
   • Levhanın alt kenarı AB üzerinde E ve F noktaları bulunur. $|AE|=8$, $|EF|=1$, $|FB|=8$ olarak verilmiştir. Bu durumda $|AB| = 8+1+8 = 17$ birimdir. Bu, levhanın genişliği $|DC|=17$ ile uyumludur.
   • F noktası (0, 15) olduğuna göre, B noktası F'nin 8 birim sağındadır: B = (0+8, 15) = (8, 15).
   • E noktası F'nin 1 birim solundadır: E = (0-1, 15) = (-1, 15).
   • A noktası E'nin 8 birim solundadır: A = (-1-8, 15) = (-9, 15).
   • Levhanın yüksekliği $|BC|=34$ birimdir.
   • C noktası B'nin 34 birim yukarısındadır: C = (8, 15+34) = (8, 49).
   • D noktası A'nın 34 birim yukarısındadır: D = (-9, 15+34) = (-9, 49).
2. Dönme Hareketini Anlama:
   • Levha K noktası etrafında dönerek yan yatıyor. Bu, K noktasının sabit kaldığı ve levhanın K'ye olan uzaklıklarının değişmediği anlamına gelir.
   • Şekil 2'de B' köşesi yere değmektedir. Bu, B' noktasının y-koordinatının 0 olduğu anlamına gelir.
   • K noktasından B noktasına olan uzaklık (Şekil 1'de) sabittir: $|KB| = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ birim.
   • Dönme sonrası B' noktası yerde olduğuna göre, K'den B''ye olan uzaklık yine 17 birimdir. K=(0,0) olduğundan, B' = (17, 0) (sağa doğru döndüğünü varsayalım).
3. Dönme Açısını Hesaplama:
   • Başlangıçta $\vec{KB}$ vektörü (8, 15) idi. Bu vektörün x-ekseni ile yaptığı açı $\alpha_0 = \arctan(15/8)$'dir.
   • Dönme sonrası $\vec{KB'}$ vektörü (17, 0) oldu. Bu vektörün x-ekseni ile yaptığı açı $0^\circ$'dir.
   • Dönme açısı $\theta = 0 - \alpha_0 = -\arctan(15/8)$'dir.
   • Bir dik üçgende karşı kenar 15, komşu kenar 8 ise hipotenüs 17'dir. Bu durumda:
     • $\cos(\alpha_0) = \frac{\text{komşu}}{\text{hipotenüs}} = \frac{8}{17}$
     • $\sin(\alpha_0) = \frac{\text{karşı}}{\text{hipotenüs}} = \frac{15}{17}$
   • Dönme açısı $\theta$ için:
     • $\cos(\theta) = \cos(-\alpha_0) = \cos(\alpha_0) = \frac{8}{17}$
     • $\sin(\theta) = \sin(-\alpha_0) = -\sin(\alpha_0) = -\frac{15}{17}$
4. D' Köşesinin Yeni Koordinatlarını Hesaplama:
   • D noktasının başlangıçtaki koordinatları K'ye göre $(-9, 49)$ idi.
   • Bir $(x, y)$ noktasının orijin etrafında $\theta$ açısı kadar döndürülmesiyle oluşan yeni koordinatlar $(x', y')$ şu formülle bulunur:
     • $x' = x \cos\theta - y \sin\theta$
     • $y' = x \sin\theta + y \cos\theta$
   • D noktası için:
     • $x_{D'} = (-9) \cdot \left(\frac{8}{17}\right) - (49) \cdot \left(-\frac{15}{17}\right)$
     • $x_{D'} = -\frac{72}{17} + \frac{735}{17} = \frac{663}{17} = 39$
     • $y_{D'} = (-9) \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) + (49) \cdot \left(\frac{8}{17}\right)$
     • $y_{D'} = \frac{135}{17} + \frac{392}{17} = \frac{527}{17} = 31$
5. Sonuç:
   • D' köşesinin yeni koordinatları (39, 31)'dir.
   • D' köşesinin yerden uzaklığı, y-koordinatı olan 31 birimdir.

Cevap D seçeneğidir.