Bu problemde, kapının açılmasıyla oluşan geometrik şekilleri ve aralarındaki uzaklıkları inceleyeceğiz. Kapının menteşesinin olduğu noktayı O olarak kabul edelim.

• Adım 1: Kapı genişliğini belirleme.

  Kapı 60° açıldığında, A noktası pervazın ucu, B noktası ise kapının ucudur. Kapı menteşesi O noktası olduğundan, OA kapı pervazının genişliği, OB ise kapının genişliğidir. Kapı pervaza oturduğu için OA = OB'dir. Bu uzunluğa 'x' diyelim.

  Kapı 60° açıldığında, OAB üçgeni oluşur ve \(\angle AOB = 60^\circ\) olur. OA = OB = x olduğundan, OAB üçgeni ikizkenar bir üçgendir. İkizkenar bir üçgende tepe açısı 60° ise, bu üçgen eşkenar üçgendir. Dolayısıyla, AB = OA = OB = x olur.

  Soruda AB uzaklığı 80 cm olarak verildiğine göre, kapının genişliği \(x = 80\) cm'dir.

• Adım 2: Kapı 60° daha açıldığında yeni uzaklığı hesaplama.

  Kapı 60° daha açılırsa, toplam açılma açısı \(60^\circ + 60^\circ = 120^\circ\) olur. Şimdi OAB üçgeninde OA = OB = 80 cm ve \(\angle AOB = 120^\circ\) olacaktır. Yeni AB uzaklığını bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanabiliriz:

  \[AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)\]

  Değerleri yerine yazalım:

  \[AB^2 = 80^2 + 80^2 - 2 \cdot 80 \cdot 80 \cdot \cos(120^\circ)\]

  Kosinüs 120°'nin değeri \(\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}\)'dir.

  \[AB^2 = 6400 + 6400 - 2 \cdot 6400 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

  \[AB^2 = 12800 + 6400\]

  \[AB^2 = 19200\]

  AB'yi bulmak için karekök alalım:

  \[AB = \sqrt{19200}\]

  \[AB = \sqrt{6400 \cdot 3}\]

  \[AB = 80\sqrt{3}\]

Buna göre, kapı 60° daha açıldığında A ile B noktaları arasındaki uzaklık \(80\sqrt{3}\) santimetre olur.

Cevap B seçeneğidir.