Bu problemi çözmek için koordinat geometrisi ve Pisagor teoremini kullanacağız.

1. Koordinat Sistemini Tanımlama ve Noktaları Belirleme:
   • Odanın sol alt köşesini orijin (0,0) olarak kabul edelim.
   • Kapının menteşesi olan A noktası, sol duvardan 52 cm uzaklıkta ve alt duvar üzerinde olduğundan koordinatları: \(A = (52, 0)\).
   • Yatağın köşesi olan C noktası, Şekil 1'deki ölçülere göre yatağın sağ alt köşesidir. Şekildeki 100 cm yatay mesafeyi C noktasının x-koordinatı, 36 cm dikey mesafeyi ise C noktasının y-koordinatı olarak yorumlayabiliriz. Bu, bu tür geometrik problemlerde yaygın bir yorumdur. Dolayısıyla, \(C = (100, 36)\).
   • Tahta parçasının başladığı B noktası alt duvar üzerinde olduğundan y-koordinatı 0'dır. B noktasının x-koordinatına \(x_B\) diyelim: \(B = (x_B, 0)\).
2. Dik Üçgen Koşulunu Kullanma:
   • Soruda, tahta parçasının (BC) kapıya (AC) dik olduğu belirtilmiştir. Bu, \(\triangle ABC\)'nin C noktasında dik açılı bir üçgen olduğu anlamına gelir (\(\angle BCA = 90^\circ\)).
   • Dik üçgende, kenarların eğimleri çarpımı -1'e eşittir.
   • AC doğrusunun eğimi (\(m_{AC}\)): \(m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{36 - 0}{100 - 52} = \frac{36}{48} = \frac{3}{4}\).
   • BC doğrusunun eğimi (\(m_{BC}\)): \(m_{BC} = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B} = \frac{36 - 0}{100 - x_B} = \frac{36}{100 - x_B}\).
   • Eğimler çarpımı -1 olduğu için: \(m_{AC} \times m_{BC} = -1\) \(\frac{3}{4} \times \frac{36}{100 - x_B} = -1\) \(\frac{108}{4(100 - x_B)} = -1\) \(108 = -4(100 - x_B)\) \(108 = -400 + 4x_B\) \(508 = 4x_B\) \(x_B = \frac{508}{4} = 127\).
   • B noktasının koordinatları: \(B = (127, 0)\).
3. Tahta Parçasının Uzunluğunu Hesaplama:
   • Tahta parçasının uzunluğu, B ve C noktaları arasındaki mesafedir. \(BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2}\) \(BC = \sqrt{(100 - 127)^2 + (36 - 0)^2}\) \(BC = \sqrt{(-27)^2 + 36^2}\) \(BC = \sqrt{729 + 1296}\) \(BC = \sqrt{2025}\) \(BC = 45\) cm.

Cevap C seçeneğidir