Verilen bilgilere göre, $|DE| = x$ değerini bulmak için adım adım ilerleyelim:

• 1. $\triangle ADE$ üçgeninin özellikleri:

  DA $\perp$ AE olduğu için $\text{m}(\widehat{DAE}) = 90^\circ$ dir. Ayrıca $\text{m}(\widehat{EDA}) = 45^\circ$ verilmiştir.

  Bir üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan, $\text{m}(\widehat{DEA}) = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$ olur.

  Bu durumda $\triangle ADE$ bir ikizkenar dik üçgendir, yani $|AD| = |AE|$ dir. Bu uzunluğa $h$ diyelim.

  Pisagor teoremine göre, $|DE|^2 = |AD|^2 + |AE|^2 = h^2 + h^2 = 2h^2$. Buradan $|DE| = h\sqrt{2}$ bulunur.

• 2. Diğer açıları belirleme:

  Düz bir çizgi üzerindeki açılar $180^\circ$ olduğundan:

  • $\text{m}(\widehat{ADB}) = 180^\circ - \text{m}(\widehat{EDA}) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.
  • $\text{m}(\widehat{AEC}) = 180^\circ - \text{m}(\widehat{DEA}) = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

  Görüldüğü üzere, $\text{m}(\widehat{ADB}) = \text{m}(\widehat{AEC}) = 135^\circ$ dir.

• 3. $\text{m}(\widehat{BAC})$ açısını kullanma:

  Verilen $\text{m}(\widehat{BAC}) = 135^\circ$ açısı, $\text{m}(\widehat{BAD}) + \text{m}(\widehat{DAE}) + \text{m}(\widehat{EAC})$ şeklinde yazılabilir.

  Yani, $\text{m}(\widehat{BAD}) + 90^\circ + \text{m}(\widehat{EAC}) = 135^\circ$ dir.

  Buradan $\text{m}(\widehat{BAD}) + \text{m}(\widehat{EAC}) = 45^\circ$ sonucuna ulaşırız.

• 4. $\triangle ABD$ üçgenindeki açılar:

  $\triangle ABD$ üçgeninin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan:

  $\text{m}(\widehat{ABD}) = 180^\circ - \text{m}(\widehat{BAD}) - \text{m}(\widehat{ADB}) = 180^\circ - \text{m}(\widehat{BAD}) - 135^\circ = 45^\circ - \text{m}(\widehat{BAD})$ dir.

• 5. Üçgenlerin benzerliğini belirleme:

  Şimdi $\triangle ABD$ ve $\triangle CAE$ üçgenlerini inceleyelim:

  • $\text{m}(\widehat{ADB}) = \text{m}(\widehat{AEC}) = 135^\circ$ (2. adımdan).
  • $\text{m}(\widehat{ABD}) = 45^\circ - \text{m}(\widehat{BAD})$ (4. adımdan).
  • $\text{m}(\widehat{EAC}) = 45^\circ - \text{m}(\widehat{BAD})$ (3. adımdan).

  Bu durumda $\text{m}(\widehat{ABD}) = \text{m}(\widehat{EAC})$ olur.

  İki açısı eşit olan üçgenler benzerdir (A.A. benzerlik kuralı). Dolayısıyla $\triangle ABD \sim \triangle CAE$ dir.

• 6. Benzerlik oranını kullanma:

  Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir:

  $\frac{|BD|}{|AE|} = \frac{|AD|}{|CE|}$

  Verilen değerleri ve 1. adımdaki $|AD| = |AE| = h$ bilgisini yerine yazalım:

  $\frac{4}{h} = \frac{h}{8}$

• 7. $h$ değerini bulma:

  Denklemi çözerek $h$ değerini bulalım:

  $h^2 = 4 \times 8 = 32$

  $h = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ cm.

• 8. $|DE|$ değerini bulma:

  1. adımda $|DE| = h\sqrt{2}$ olduğunu bulmuştuk. Şimdi $h$ değerini yerine yazalım:

  $|DE| = (4\sqrt{2})\sqrt{2} = 4 \times 2 = 8$ cm.

Cevap C seçeneğidir.