Sorunun Çözümü
- Verilen bilgilere göre, $\triangle ABC$ dik üçgendir ($AB \perp AC$) ve $AH$ yüksekliktir ($AH \perp BC$).
- Öklid bağıntısından, $|AH|^2 = |BH| \cdot |HC|$ olur. Yani $x^2 = 8 \cdot |HC|$.
- Şekildeki D noktası için $|AD| = |CD|$ verilmiştir. Bu durumda $\triangle ADC$ ikizkenar üçgendir.
- $\triangle ADC$ ikizkenar olduğundan $\angle CAD = \angle ACD$ (veya $\angle BCA$). Ayrıca, dik üçgen $ABC$'de $AH$ yükseklik olduğundan $\angle BAH = \angle BCA$ olur. Bu durumda $\angle BAH = \angle CAD$ olur.
- $|AD| = |CD|$ uzunluğuna $k$ diyelim. Yani $|CD| = k$.
- $\triangle AHD$ dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulayalım: $|AD|^2 = |AH|^2 + |HD|^2$. Bu da $k^2 = x^2 + 5^2 \implies k^2 = x^2 + 25$ demektir.
- $H, D, C$ noktaları doğrusal olduğundan $|HC| = |HD| + |DC|$ olur. Verilen $|HD| = 5 cm$ ve $|DC| = k$ olduğundan $|HC| = 5 + k$ olur.
- Öklid bağıntısını tekrar kullanalım: $x^2 = 8 \cdot |HC| \implies x^2 = 8(5 + k) \implies x^2 = 40 + 8k$.
- Şimdi iki denklemi çözelim: $k^2 = x^2 + 25$ ve $x^2 = 40 + 8k$.
- İkinci denklemi birinciye yerine koyarsak: $k^2 = (40 + 8k) + 25 \implies k^2 = 65 + 8k$.
- Denklemi düzenleyelim: $k^2 - 8k - 65 = 0$.
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: $(k - 13)(k + 5) = 0$.
- $k$ bir uzunluk olduğu için pozitif olmalıdır, bu yüzden $k = 13$ cm.
- $k = 13$ değerini $x^2 = 40 + 8k$ denklemine yerine koyalım: $x^2 = 40 + 8(13) \implies x^2 = 40 + 104 \implies x^2 = 144$.
- $x = \sqrt{144} \implies x = 12$ cm.
- Doğru Seçenek D'dır.