Verilen bilgilere göre, adımları takip ederek \(|BC| = x\) değerini bulalım:

• 1. Verilenleri Analiz Etme:
  • ABC bir dik üçgendir ve dik açı B noktasındadır (\(AB \perp BC\)).
  • \(|AD| = |BD|\) verilmiştir. Bu, ABD üçgeninin ikizkenar üçgen olduğu anlamına gelir.
  • \(|CD| = 3\) birimdir.
  • \(|AB| = 2\) birimdir.
  • \(|BC| = x\) değerini bulmamız isteniyor.
• 2. Açı İlişkilerini Kullanma:
  • ABD üçgeni ikizkenar olduğundan, eşit kenarların karşısındaki açılar da eşittir: \(\angle DAB = \angle DBA\). Bu açılara \(\alpha\) diyelim. Yani, \(\angle DAB = \alpha\) ve \(\angle DBA = \alpha\).
  • ABC dik üçgen olduğundan, \(\angle ABC = 90^\circ\).
  • Bu durumda, \(\angle DBC = \angle ABC - \angle DBA = 90^\circ - \alpha\).
  • ABC dik üçgeninde, A açısı \(\alpha\) olduğundan, C açısı \(\angle BCA = 90^\circ - \alpha\) olur.
  • Görüldüğü gibi, \(\angle DBC = 90^\circ - \alpha\) ve \(\angle BCA = 90^\circ - \alpha\). Yani, \(\angle DBC = \angle BCA\).
• 3. BDC Üçgenini Değerlendirme:
  • BDC üçgeninde \(\angle DBC = \angle BCA\) olduğundan, bu üçgen de ikizkenar bir üçgendir.
  • Eşit açıların karşısındaki kenarlar eşit olmalıdır: \(|BD| = |CD|\).
  • Soruda \(|CD| = 3\) birim olarak verildiğinden, \(|BD| = 3\) birimdir.
• 4. AC Uzunluğunu Bulma:
  • \(|AD| = |BD|\) ve \(|BD| = 3\) olduğundan, \(|AD| = 3\) birimdir.
  • AC kenarı, AD ve CD kenarlarının toplamıdır: \(|AC| = |AD| + |CD| = 3 + 3 = 6\) birimdir.
• 5. Pisagor Teoremini Uygulama:
  • ABC dik üçgeninde Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \(|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2\).
  • Verilen değerleri yerine koyalım: \(2^2 + x^2 = 6^2\).
  • \(4 + x^2 = 36\).
  • \(x^2 = 36 - 4\).
  • \(x^2 = 32\).
  • \(x = \sqrt{32}\).
  • \(x = \sqrt{16 \times 2}\).
  • \(x = 4\sqrt{2}\) birimdir.

Cevap E seçeneğidir.