Sorunun Çözümü
- ABC eşkenar üçgen olduğundan, tüm iç açıları $60^\circ$'dir. Yani $m(\widehat{ABC}) = 60^\circ$.
- $|AE| = |EC|$ verildiği için E noktası AC kenarının orta noktasıdır.
- Eşkenar üçgende kenarortay aynı zamanda açıortaydır. Bu nedenle BE, $\widehat{ABC}$ açısının açıortayıdır.
- Dolayısıyla $m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{EBC}) = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
- D noktası BA doğrusu üzerinde ve A, B ile D arasındadır (B-A-D doğrusal). Bu durumda $\widehat{DBE}$ açısı, $\widehat{ABE}$ açısı ile aynıdır. Yani $m(\widehat{DBE}) = 30^\circ$.
- $\triangle BDE$ üçgeninde, verilen $m(\widehat{BDE}) = 30^\circ$ ve bulduğumuz $m(\widehat{DBE}) = 30^\circ$ açıları eşittir.
- İki açısı eşit olan üçgen ikizkenar üçgendir. Bu nedenle $|DE| = |BE|$ olur. Yani $|BE| = x$.
- $\triangle BDE$ üçgeninin üçüncü açısı $m(\widehat{BED}) = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ$.
- $\triangle BDE$ üçgeninde Sinüs Teoremi'ni uygulayalım: $\frac{|BD|}{\sin(\widehat{BED})} = \frac{|DE|}{\sin(\widehat{DBE})}$.
- Verilen değerleri yerine yazalım: $\frac{6}{\sin(120^\circ)} = \frac{x}{\sin(30^\circ)}$.
- $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ve $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$.
- Denklemi çözelim: $\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{x}{\frac{1}{2}} \Rightarrow 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = x \cdot 2 \Rightarrow \frac{12}{\sqrt{3}} = 2x$.
- $x = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$.
- Doğru Seçenek E'dır.