Sorunun Çözümü
- $\triangle ABC$ ikizkenar dik üçgen olduğundan, $m(\widehat{A}) = 90^\circ$, $m(\widehat{B}) = 45^\circ$ ve $m(\widehat{C}) = 45^\circ$'dir.
- $|AB| = |AC|$ olduğundan, Pisagor Teoremi'nden $2|AC|^2 = |BC|^2$ yazılır. $|BC| = 2\sqrt{6}$ birim verildiğinden, $2|AC|^2 = (2\sqrt{6})^2 = 24$ olur. Buradan $|AC|^2 = 12$ ve $|AC| = 2\sqrt{3}$ birim bulunur. Dolayısıyla $|AB| = 2\sqrt{3}$ birimdir.
- $m(\widehat{ACD}) = 30^\circ$ ve $m(\widehat{ACB}) = 45^\circ$ olduğundan, $m(\widehat{BCD}) = m(\widehat{ACB}) - m(\widehat{ACD}) = 45^\circ - 30^\circ = 15^\circ$'dir.
- $\triangle BDC$'de iç açılar toplamı $180^\circ$'dir. $m(\widehat{B}) = 45^\circ$ ve $m(\widehat{BCD}) = 15^\circ$ olduğundan, $m(\widehat{BDC}) = 180^\circ - 45^\circ - 15^\circ = 120^\circ$'dir.
- $\triangle BDC$'de Sinüs Teoremi uygulanır: $\frac{|DB|}{\sin(m(\widehat{BCD}))} = \frac{|BC|}{\sin(m(\widehat{BDC}))}$.
- Verilen değerler yerine yazılır: $\frac{x}{\sin(15^\circ)} = \frac{2\sqrt{6}}{\sin(120^\circ)}$.
- $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$'dir.
- $\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$'tür.
- Denklemde yerine konulur: $\frac{x}{(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})} = \frac{2\sqrt{6}}{(\frac{\sqrt{3}}{2})}$.
- $x = \frac{2\sqrt{6} \cdot (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4})}{(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{2\sqrt{6}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{\sqrt{3}}$.
- $x = \frac{6 - \sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \frac{6 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$.
- Paydayı rasyonel yapmak için $\sqrt{3}$ ile çarpılır: $x = \frac{(6 - 2\sqrt{3})\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3} - 6}{3} = 2\sqrt{3} - 2$.
- $x = 2(\sqrt{3} - 1)$ birimdir.
- Doğru Seçenek B'dır.