Verilen bilgilere göre adım adım çözüm:

• Açıları Belirleme ve Üçgen Tipini Tespit Etme:
  • m(CAE) = m(DAE) = \(\beta\) diyelim.
  • m(BAD) = m(ACD) = \(\alpha\) diyelim.
  • \(\triangle ADC\)'de AD \(\perp\) BC olduğundan, \(\angle ADC = 90^\circ\). Bu durumda \(\angle CAD = 90^\circ - \angle ACD = 90^\circ - \alpha\).
  • Diğer yandan, \(\angle CAD = \angle CAE + \angle DAE = \beta + \beta = 2\beta\).
  • Yani, \(2\beta = 90^\circ - \alpha\).
  • \(\triangle ABC\)'nin A açısı \(\angle BAC = \angle BAD + \angle DAE + \angle CAE = \alpha + \beta + \beta = \alpha + 2\beta\).
  • \(2\beta\) yerine \(90^\circ - \alpha\) yazarsak, \(\angle BAC = \alpha + (90^\circ - \alpha) = 90^\circ\).
  • Bu durumda, \(\triangle ABC\) A köşesinde dik açılı bir üçgendir.
• Açıortay Teoremini Uygulama:
  • \(\triangle ADC\)'de AE, \(\angle CAD\)'nin açıortayıdır.
  • Açıortay teoremine göre: \(\frac{|DE|}{|EC|} = \frac{|AD|}{|AC|}\).
  • Verilen değerleri yerine yazarsak: \(\frac{3}{x} = \frac{|AD|}{|AC|}\) (Denklem 1).
• AD ve AC Uzunluklarını \(\alpha\) Cinsinden İfade Etme:
  • \(\triangle ABC\) dik üçgeninde AD yüksekliktir.
  • \(\triangle ABD\)'de \(\cos(\angle BAD) = \frac{|AD|}{|AB|} \Rightarrow \cos(\alpha) = \frac{|AD|}{15} \Rightarrow |AD| = 15 \cos(\alpha)\).
  • \(\triangle ADC\)'de \(\sin(\angle ACD) = \frac{|AD|}{|AC|} \Rightarrow \sin(\alpha) = \frac{|AD|}{|AC|} \Rightarrow |AC| = \frac{|AD|}{\sin(\alpha)} = \frac{15 \cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = 15 \cot(\alpha)\).
• Denklem 1'i Basitleştirme:
  • \(\frac{3}{x} = \frac{15 \cos(\alpha)}{15 \cot(\alpha)} = \frac{\cos(\alpha)}{\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}} = \sin(\alpha)\).
  • Yani, \(\sin(\alpha) = \frac{3}{x}\) (Denklem 2).
• \(\alpha\) Değerini Bulmak İçin Tanjant Formüllerini Kullanma:
  • \(\triangle ADE\)'de \(\angle ADE = 90^\circ\).
  • \(\tan(\angle DAE) = \frac{|DE|}{|AD|} \Rightarrow \tan(\beta) = \frac{3}{|AD|}\).
  • \(|AD| = 15 \cos(\alpha)\) olduğundan \(\tan(\beta) = \frac{3}{15 \cos(\alpha)} = \frac{1}{5 \cos(\alpha)}\).
  • Daha önce \(2\beta = 90^\circ - \alpha\) bulmuştuk, bu yüzden \(\beta = 45^\circ - \frac{\alpha}{2}\).
  • \(\tan(45^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{5 \cos(\alpha)}\).
  • \(\tan(45^\circ - \frac{\alpha}{2}) = \frac{1 - \tan(\frac{\alpha}{2})}{1 + \tan(\frac{\alpha}{2})}\) ve \(\cos(\alpha) = \frac{1 - \tan^2(\frac{\alpha}{2})}{1 + \tan^2(\frac{\alpha}{2})}\) özdeşliklerini kullanalım.
  • \(\tan(\frac{\alpha}{2}) = t\) dersek: \(\frac{1 - t}{1 + t} = \frac{1}{5 \left(\frac{1 - t^2}{1 + t^2}\right)}\).
  • \(\frac{1 - t}{1 + t} = \frac{1 + t^2}{5(1 - t)(1 + t)}\).
  • \(5(1 - t)^2 = 1 + t^2\).
  • \(5(1 - 2t + t^2) = 1 + t^2\).
  • \(5 - 10t + 5t^2 = 1 + t^2\).
  • \(4t^2 - 10t + 4 = 0 \Rightarrow 2t^2 - 5t + 2 = 0\).
  • Bu denklemi çözersek: \(t = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(2)(2)}}{2(2)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}\).
  • İki çözüm: \(t_1 = \frac{8}{4} = 2\) ve \(t_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).
  • \(\alpha\) bir dar açı olduğundan (\(\angle C = \alpha < 90^\circ\)), \(\frac{\alpha}{2} < 45^\circ\) olmalıdır. Bu durumda \(\tan(\frac{\alpha}{2}) < 1\).
  • Dolayısıyla, \(t = \tan(\frac{\alpha}{2}) = \frac{1}{2}\) seçilir.
• x Değerini Hesaplama:
  • \(\sin(\alpha) = \frac{2t}{1 + t^2}\) formülünü kullanarak \(\sin(\alpha)\) değerini bulalım.
  • \(\sin(\alpha) = \frac{2(\frac{1}{2})}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}\).
  • Denklem 2'den \(\sin(\alpha) = \frac{3}{x}\) olduğunu biliyoruz.
  • \(\frac{4}{5} = \frac{3}{x}\).
  • Çapraz çarpım yaparak \(4x = 15 \Rightarrow x = \frac{15}{4}\) bulunur.

Cevap B seçeneğidir.