Verilen ABCD dörtgeninde $|BD| = x$ uzunluğunun alabileceği değer aralığını bulmak için, dörtgeni oluşturan iki üçgeni ayrı ayrı incelememiz gerekmektedir.

• Üçgen ABD için:
  • Kenar uzunlukları 9, 12 ve $x$'tir.
  • $\alpha$ açısı $x$ kenarının karşısındadır ve dar açı olarak verilmiştir.
  • Üçgen eşitsizliğine göre: $|12 - 9| < x < 12 + 9 \implies 3 < x < 21$.
  • Dar açı kuralına göre (kosinüs teoremi veya Pisagor bağıntısının genelleştirilmiş hali): Eğer $\alpha$ dik açı olsaydı, $x^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \implies x = 15$ olurdu. $\alpha$ dar açı olduğu için, $x^2 < 9^2 + 12^2 \implies x^2 < 225 \implies x < 15$.
  • Bu iki koşulu birleştirirsek: $3 < x < 15$.
• Üçgen BCD için:
  • Kenar uzunlukları 5, 12 ve $x$'tir.
  • $\theta$ açısı $x$ kenarının karşısındadır ve geniş açı olarak verilmiştir.
  • Üçgen eşitsizliğine göre: $|12 - 5| < x < 12 + 5 \implies 7 < x < 17$.
  • Geniş açı kuralına göre (kosinüs teoremi veya Pisagor bağıntısının genelleştirilmiş hali): Eğer $\theta$ dik açı olsaydı, $x^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \implies x = 13$ olurdu. $\theta$ geniş açı olduğu için, $x^2 > 5^2 + 12^2 \implies x^2 > 169 \implies x > 13$.
  • Bu iki koşulu birleştirirsek: $13 < x < 17$.
• Her iki koşulun birleştirilmesi:
  • $x$ değeri hem $3 < x < 15$ aralığında hem de $13 < x < 17$ aralığında olmalıdır.
  • Bu iki aralığın kesişimini alırsak: $(3, 15) \cap (13, 17) = (13, 15)$.
  • Dolayısıyla, $x$ değerinin alabileceği aralık $(13, 15)$'tir.

Cevap C seçeneğidir.