Soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• Verilen bilgilere göre, ABC dik üçgeninde B köşesi dik açıdır.
• |AB| uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bu uzunluğa h diyelim.
• |BD| uzunluğuna x diyelim.
• Bu durumda |BC| = |BD| + |CD| = x + 6 olur.

1. ABD dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulayalım:

• $|AB|^2 + |BD|^2 = |AD|^2$
• $h^2 + x^2 = (2\sqrt{5})^2$
• $h^2 + x^2 = 4 \times 5$
• $h^2 + x^2 = 20$ (Denklem 1)

2. ABC dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulayalım:

• $|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$
• $h^2 + (x+6)^2 = (4\sqrt{5})^2$
• $h^2 + (x+6)^2 = 16 \times 5$
• $h^2 + (x+6)^2 = 80$ (Denklem 2)

3. Denklemleri çözelim:

• Denklem 1'den $h^2 = 20 - x^2$ ifadesini Denklem 2'ye yerine yazalım:
• $(20 - x^2) + (x+6)^2 = 80$
• $20 - x^2 + (x^2 + 12x + 36) = 80$
• $20 + 12x + 36 = 80$
• $56 + 12x = 80$
• $12x = 80 - 56$
• $12x = 24$
• $x = 2$ cm

4. |AB| uzunluğunu (h) bulalım:

• $x = 2$ değerini Denklem 1'e yerine yazalım:
• $h^2 + x^2 = 20$
• $h^2 + (2)^2 = 20$
• $h^2 + 4 = 20$
• $h^2 = 20 - 4$
• $h^2 = 16$
• $h = \sqrt{16}$
• $h = 4$ cm

Buna göre, |AB| = 4 cm'dir.

Cevap E seçeneğidir.