Verilen bilgilere göre, ABC üçgeninde AH yüksekliği BC kenarına diktir. Bu durumda, $\triangle AHC$ ve $\triangle AHB$ birer dik üçgendir.

• Adım 1: Bilgileri Tanımlama
• $|AB| = 4\sqrt{5}$ cm
• $|AC| = 5$ cm
• $|BC| = 11$ cm
• Bizden $|CH| = x$ uzunluğunu bulmamız isteniyor.
• Adım 2: Uzunlukları İfade Etme
• $|CH| = x$ olarak kabul edelim.
• $|BC| = |BH| + |CH|$ olduğundan, $|BH| = |BC| - |CH| = 11 - x$ olur.
• AH yüksekliğine $h$ diyelim.
• Adım 3: Pisagor Teoremini Uygulama
• $\triangle AHC$ dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım: $$h^2 + x^2 = |AC|^2$$ $$h^2 + x^2 = 5^2$$ $$h^2 + x^2 = 25 \quad \text{(Denklem 1)}$$
• $\triangle AHB$ dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım: $$h^2 + |BH|^2 = |AB|^2$$ $$h^2 + (11-x)^2 = (4\sqrt{5})^2$$ $$h^2 + (11-x)^2 = 16 \times 5$$ $$h^2 + (11-x)^2 = 80 \quad \text{(Denklem 2)}$$
• Adım 4: Denklemleri Çözme
• Denklem 1'den $h^2$ değerini çekelim: $$h^2 = 25 - x^2$$
• Bu $h^2$ değerini Denklem 2'de yerine koyalım: $$(25 - x^2) + (11-x)^2 = 80$$ $$25 - x^2 + (121 - 22x + x^2) = 80$$ $$25 - x^2 + 121 - 22x + x^2 = 80$$
• $-x^2$ ve $+x^2$ terimleri birbirini götürür: $$25 + 121 - 22x = 80$$ $$146 - 22x = 80$$
• $22x$ terimini sağa, 80'i sola atalım: $$146 - 80 = 22x$$ $$66 = 22x$$
• $x$ değerini bulmak için her iki tarafı 22'ye bölelim: $$x = \frac{66}{22}$$ $$x = 3$$

Buna göre, $|CH|$ uzunluğu 3 cm'dir.

Cevap C seçeneğidir.