Verilen bilgilere göre, iki dik üçgenimiz bulunmaktadır: ABD ve ABC.

• ABD üçgeni için Pisagor Teoremi:

D noktasında dik açı olduğundan, $|AD|^2 + |BD|^2 = |AB|^2$ eşitliğini yazabiliriz.

$3^2 + |BD|^2 = |AB|^2$

$9 + |BD|^2 = |AB|^2$ (Denklem 1)

• ABC üçgeni için Pisagor Teoremi:

B noktasında dik açı olduğundan, $|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$ eşitliğini yazabiliriz.

$|AB|^2 + |BC|^2 = (3\sqrt{5})^2$

$|AB|^2 + |BC|^2 = 9 \times 5$

$|AB|^2 + |BC|^2 = 45$ (Denklem 2)

• Denklemleri Birleştirme:

Soruda $|BD| = |BC|$ olduğu belirtilmiştir. Bu bilgiyi kullanarak Denklemleri çözebiliriz.

Denklem 1'den $|BD|^2 = |AB|^2 - 9$ ifadesini elde ederiz.

Bu ifadeyi Denklem 2'de $|BC|^2$ yerine koyalım (çünkü $|BD|^2 = |BC|^2$):

$|AB|^2 + (|AB|^2 - 9) = 45$

$2|AB|^2 - 9 = 45$

$2|AB|^2 = 45 + 9$

$2|AB|^2 = 54$

$|AB|^2 = \frac{54}{2}$

$|AB|^2 = 27$

$|AB| = \sqrt{27}$

$|AB| = \sqrt{9 \times 3}$

$|AB| = 3\sqrt{3}$ cm

Cevap A seçeneğidir.