Verilen bilgilere göre, $|AB|=x$ uzunluğunu adım adım bulalım:

• 1. $|AE|$ ve $|AC|$ uzunluklarını bulma:
  • Soruda $|CE| = 2|AE| = 4$ cm olarak verilmiştir.
  • Bu eşitlikten $|CE| = 4$ cm ve $2|AE| = 4$ cm olduğu için $|AE| = 2$ cm bulunur.
  • Dolayısıyla, $|AC|$ kenarının toplam uzunluğu $|AC| = |AE| + |EC| = 2 + 4 = 6$ cm'dir.
• 2. $\triangle EBC$ üçgeninin ikizkenar olduğunu belirleme:
  • Soruda $D$ noktasının $BC$ kenarının orta noktası olduğu ($|BD| = |DC|$) ve $ED \perp BC$ olduğu belirtilmiştir.
  • Bir üçgende (burada $\triangle EBC$) bir kenara ait yükseklik (ED) aynı zamanda o kenara ait kenarortay (D orta nokta) ise, bu üçgen ikizkenar üçgendir.
  • Bu durumda, $\triangle EBC$ ikizkenar üçgendir ve $|EB| = |EC|$ olmalıdır.
  • $|EC| = 4$ cm olduğundan, $|EB| = 4$ cm'dir.
• 3. $\angle C$ açısının kosinüsünü kullanarak $|DC|$ uzunluğunu bulma:
  • $\triangle EDC$ bir dik üçgendir (D noktasında dik açıya sahiptir). Bu üçgende $\cos(\angle C) = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|DC|}{|EC|} = \frac{|DC|}{4}$'tür.
  • $\triangle ABC$ de bir dik üçgendir (A noktasında dik açıya sahiptir, çünkü $[AB] \perp [AC]$). Bu üçgende $\cos(\angle C) = \frac{\text{Komşu Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|AC|}{|BC|}$'dir.
  • $D$ noktası $BC$'nin orta noktası olduğundan, $|BC| = 2|DC|$'dir.
  • Şimdi $\cos(\angle C)$ için bulduğumuz iki ifadeyi eşitleyelim: $$ \frac{|DC|}{4} = \frac{|AC|}{2|DC|} $$ $$ \frac{|DC|}{4} = \frac{6}{2|DC|} $$ $$ \frac{|DC|}{4} = \frac{3}{|DC|} $$ $$ |DC|^2 = 4 \times 3 $$ $$ |DC|^2 = 12 $$ $$ |DC| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ cm} $$
• 4. Pisagor teoremini kullanarak $|AB|=x$ değerini bulma:
  • $|DC| = 2\sqrt{3}$ cm olduğundan, $|BC| = 2|DC| = 2 \times 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ cm'dir.
  • $\triangle ABC$ dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım ($|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2$): $$ x^2 + 6^2 = (4\sqrt{3})^2 $$ $$ x^2 + 36 = 16 \times 3 $$ $$ x^2 + 36 = 48 $$ $$ x^2 = 48 - 36 $$ $$ x^2 = 12 $$ $$ x = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ cm} $$

Cevap C seçeneğidir.