Verilen bilgilere göre, `ABC` bir dik üçgendir ve `AD \perp BC`, `DE \perp AC`'dir. Ayrıca `|DE| = 8` cm ve `|AE| = 4` cm olarak verilmiştir. `|BC|` uzunluğunu bulmamız isteniyor.

• 1. `\triangle ADE` üçgeninde Pisagor Teoremi uygulayalım:

`\triangle ADE` bir dik üçgendir (`\angle AED = 90^\circ`).

`|AD|^2 = |AE|^2 + |DE|^2`

`|AD|^2 = 4^2 + 8^2`

`|AD|^2 = 16 + 64`

`|AD|^2 = 80`

`|AD| = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}` cm.

• 2. `\triangle ADC` üçgeninde Öklid Bağıntısı uygulayalım:

`\triangle ADC` bir dik üçgendir (`\angle ADC = 90^\circ`) ve `DE` hipotenüse ait yüksekliktir (`DE \perp AC`).

Öklid bağıntısına göre: `|DE|^2 = |AE| \cdot |EC|`

`8^2 = 4 \cdot |EC|`

`64 = 4 \cdot |EC|`

`|EC| = 16` cm.

• 3. `|AC|` uzunluğunu bulalım:

`|AC| = |AE| + |EC|`

`|AC| = 4 + 16 = 20` cm.

• 4. `\triangle ADC` üçgeninde Pisagor Teoremi uygulayarak `|DC|` uzunluğunu bulalım:

`|AC|^2 = |AD|^2 + |DC|^2`

`20^2 = (4\sqrt{5})^2 + |DC|^2`

`400 = 80 + |DC|^2`

`|DC|^2 = 320`

`|DC| = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5}` cm.

• 5. `\triangle ABC` üçgeninde Öklid Bağıntısı uygulayarak `|BC|` uzunluğunu bulalım:

`\triangle ABC` bir dik üçgendir (`\angle BAC = 90^\circ`) ve `AD` hipotenüse ait yüksekliktir (`AD \perp BC`).

Öklid bağıntısına göre: `|AC|^2 = |CD| \cdot |BC|`

`20^2 = (8\sqrt{5}) \cdot |BC|`

`400 = 8\sqrt{5} \cdot |BC|`

`|BC| = \frac{400}{8\sqrt{5}}`

`|BC| = \frac{50}{\sqrt{5}}`

Paydayı rasyonel yapalım:

`|BC| = \frac{50\sqrt{5}}{5} = 10\sqrt{5}` cm.

Cevap C seçeneğidir.