Bu problemde, verilen bir dik üçgen ve ek bilgilerle bir kenar uzunluğunu bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek çözüme ulaşalım:

• Öncelikle verilen bilgileri inceleyelim:

  • ABC bir dik üçgen ve dik açı A noktasındadır.
  • DE diktir BC'ye, yani DE, BC kenarına ait bir yüksekliktir.
  • $|BE| = |EC|$, yani E noktası BC kenarının orta noktasıdır.
  • $|AB| = 6$ cm.
  • $|AD| = 2$ cm.
  • $|CD| = x$ cm'dir ve bizden bu değeri bulmamız isteniyor.

• Kilit Bilgi: Bir üçgende (burada BDC üçgeni), bir köşeden (D) karşı kenara (BC) indirilen yükseklik (DE) aynı zamanda o kenarı iki eşit parçaya (BE = EC) ayırıyorsa, o üçgen ikizkenar üçgendir. Bu durumda, D noktasından çıkan kenarlar eşit uzunlukta olacaktır.

  Yani, $\triangle BDC$ ikizkenar üçgendir ve $|BD| = |CD|$ olur. Madem $|CD| = x$, o zaman $|BD| = x$ olur.

• Şimdi $\triangle ABC$ dik üçgenine odaklanalım. Dik kenarlar $|AB|$ ve $|AC|$'dir.

  • $|AB| = 6$ cm olarak verilmiş.
  • $|AC| = |AD| + |DC| = 2 + x$ cm'dir.

• $\triangle ABC$ dik üçgeninde $\angle C = \alpha$ diyelim.

  • $\triangle ABC$'de $\cos \alpha = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{2+x}{|BC|}$.
  • $\triangle DEC$ de bir dik üçgendir ($\angle DEC = 90^\circ$). Bu üçgende de $\cos \alpha = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} = \frac{|EC|}{|DC|}$'dir.
  • E noktası BC'nin orta noktası olduğu için $|EC| = \frac{|BC|}{2}$'dir.
  • Bu durumda, $\triangle DEC$'deki $\cos \alpha$ ifadesi $\cos \alpha = \frac{|BC|/2}{x} = \frac{|BC|}{2x}$ olur.

• Şimdi iki $\cos \alpha$ ifadesini birbirine eşitleyelim:

  $$ \frac{2+x}{|BC|} = \frac{|BC|}{2x} $$

  İçler dışlar çarpımı yaparak $|BC|^2$ değerini bulalım:

  $$ |BC|^2 = 2x(2+x) $$

• Son olarak, $\triangle ABC$ dik üçgeninde Pisagor Teoremi'ni uygulayalım:

  $$ |AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2 $$

  Verilen ve bulduğumuz değerleri yerine yazalım:

  $$ 6^2 + (2+x)^2 = |BC|^2 $$

  $$ 36 + (2+x)^2 = |BC|^2 $$

• Şimdi $|BC|^2$ için bulduğumuz iki ifadeyi birbirine eşitleyelim ve x'i çözelim:

  $$ 36 + (2+x)^2 = 2x(2+x) $$

  Denklemi açalım:

  $$ 36 + (4 + 4x + x^2) = 4x + 2x^2 $$

  $$ 40 + 4x + x^2 = 4x + 2x^2 $$

  Her iki taraftan $4x$ ve $x^2$ terimlerini çıkaralım:

  $$ 40 = 2x^2 - x^2 $$

  $$ 40 = x^2 $$

  x'i bulmak için karekök alalım:

  $$ x = \sqrt{40} $$

  $$ x = \sqrt{4 \cdot 10} $$

  $$ x = 2\sqrt{10} $$

Böylece $|CD| = x$ uzunluğunu $2\sqrt{10}$ cm olarak bulmuş oluruz.

Cevap B seçeneğidir.