Verilen bilgilere göre, ABC bir dik üçgendir ve A köşesindeki açı 90 derecedir. AH, hipotenüse inen yüksekliktir.

• 1. Hipotenüs BC uzunluğunu bulalım:

ABC dik üçgeninde Pisagor Teoremi'ni uygulayalım:

\(|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2\)

\(|BC|^2 = 5^2 + 10^2\)

\(|BC|^2 = 25 + 100\)

\(|BC|^2 = 125\)

\(|BC| = \sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = 5\sqrt{5}\) cm

• 2. Üçgenin alanını iki farklı yolla ifade edelim:

Bir dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısı veya taban ile yüksekliğin çarpımının yarısı şeklinde bulunabilir.

Yol 1 (Dik kenarlar ile):

\(Alan(ABC) = \frac{1}{2} \times |AB| \times |AC|\)

\(Alan(ABC) = \frac{1}{2} \times 5 \times 10 = 25\) cm²

Yol 2 (Hipotenüs ve yükseklik ile):

\(Alan(ABC) = \frac{1}{2} \times |BC| \times |AH|\)

\(Alan(ABC) = \frac{1}{2} \times 5\sqrt{5} \times x\)

• 3. Alanları eşitleyerek x değerini bulalım:

İki alan ifadesini birbirine eşitleyelim:

\(\frac{1}{2} \times 5\sqrt{5} \times x = 25\)

\(5\sqrt{5} \times x = 50\)

\(x = \frac{50}{5\sqrt{5}}\)

\(x = \frac{10}{\sqrt{5}}\)

Paydayı rasyonel yapmak için pay ve paydayı \(\sqrt{5}\) ile çarpalım:

\(x = \frac{10 \times \sqrt{5}}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}\)

\(x = \frac{10\sqrt{5}}{5}\)

\(x = 2\sqrt{5}\) cm

Cevap E seçeneğidir.