Verilen bilgilere göre, ABC bir dik üçgendir ve dik açı A noktasındadır. Kenar uzunlukları x cinsinden verilmiştir. Dik üçgenlerde Pisagor Teoremi uygulanır:
- Pisagor Teoremi'ni Uygula:
Dik üçgende dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Yani, \(|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2\).
Verilen kenar uzunluklarını yerine yazalım:
\((2x - 1)^2 + (4x)^2 = (5x - 2)^2\)
- Denklemi Aç ve Sadeleştir:
Her terimi açalım:
\((4x^2 - 4x + 1) + (16x^2) = (25x^2 - 20x + 4)\)
Sol tarafı toplayalım:
\(20x^2 - 4x + 1 = 25x^2 - 20x + 4\)
Tüm terimleri bir tarafa toplayarak bir kuadratik denklem elde edelim:
\(0 = 25x^2 - 20x + 4 - (20x^2 - 4x + 1)\)
\(0 = 25x^2 - 20x + 4 - 20x^2 + 4x - 1\)
\(0 = 5x^2 - 16x + 3\)
- Kuadratik Denklemi Çöz:
\(5x^2 - 16x + 3 = 0\) denklemini çarpanlara ayırarak çözelim:
\((5x - 1)(x - 3) = 0\)
Buradan iki olası çözüm elde ederiz:
\(5x - 1 = 0 \Rightarrow 5x = 1 \Rightarrow x = 1/5\)
\(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
- Çözümleri Kontrol Et:
Üçgenin kenar uzunlukları pozitif olmalıdır.
- Eğer \(x = 1/5\) ise:
\(|AB| = 2(1/5) - 1 = 2/5 - 1 = -3/5\). Kenar uzunluğu negatif olamaz, bu yüzden \(x = 1/5\) geçersizdir.
- Eğer \(x = 3\) ise:
\(|AB| = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5\) birim (Pozitif, geçerli)
\(|AC| = 4(3) = 12\) birim (Pozitif, geçerli)
\(|BC| = 5(3) - 2 = 15 - 2 = 13\) birim (Pozitif, geçerli)
Bu değerler (5, 12, 13) bir Pisagor üçlüsüdür ve bir dik üçgenin kenarlarını oluşturur.
- Eğer \(x = 1/5\) ise:
Bu nedenle, x'in geçerli değeri 3'tür.
Cevap C seçeneğidir.