Soruyu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• 1. Köşe Noktalarının Koordinatlarını Belirleme:

  Bir birim karenin kenar uzunluğunu 1 birim kabul edelim. A noktasını orijin (0,0) olarak alırsak:

  • A = (0,0)
  • B = (0,3) (A'dan 3 birim yukarıda)
  • C = (6,0) (A'dan 6 birim sağda)
• 2. Üçgenin Kenar Uzunluklarını Hesaplama:

  ABC üçgeni, A noktasında dik açılı bir üçgendir (AB y ekseni üzerinde, AC x ekseni üzerindedir).

  • $|AB| = 3$ birim
  • $|AC| = 6$ birim
  • $|BC|$ (hipotenüs) uzunluğunu Pisagor Teoremi ile bulalım:

  $|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2$
  $|BC|^2 = 3^2 + 6^2$
  $|BC|^2 = 9 + 36$
  $|BC|^2 = 45$
  $|BC| = \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt{5}$ birim

• 3. Üçgenin Alanını İki Farklı Şekilde Hesaplama:

  Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısı veya herhangi bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısı olarak bulunabilir.

  • Alan(ABC) = $\frac{1}{2} \times |AB| \times |AC|$
  • Alan(ABC) = $\frac{1}{2} \times |BC| \times |AD|$ (çünkü AD, BC'ye diktir)
• 4. AD Uzunluğunu Bulma:

  İki alan formülünü birbirine eşitleyelim:

  $\frac{1}{2} \times |AB| \times |AC| = \frac{1}{2} \times |BC| \times |AD|$
  $|AB| \times |AC| = |BC| \times |AD|$
  $3 \times 6 = 3\sqrt{5} \times |AD|$
  $18 = 3\sqrt{5} \times |AD|$
  $|AD| = \frac{18}{3\sqrt{5}}$
  $|AD| = \frac{6}{\sqrt{5}}$ birim

Cevap D seçeneğidir.