Verilen bilgilere göre, ABC dik üçgeninde AD yüksekliği BC kenarına diktir. Bu durumda Öklid Teoremleri'ni kullanabiliriz.

• Verilenler:
  • $|BD| = 3$ cm
  • $|CD| = x$ cm
  • $|AC| = 2 \cdot |AB|$
  • $\triangle ABC$ bir dik üçgendir ve $AD \perp BC$.
• Öklid Teoremleri'ni Uygulama:

  Dik üçgende hipotenüse inen yükseklik varsa, kenarların kareleri ile ilgili bağıntılar vardır:

  • $|AB|^2 = |BD| \cdot |BC|$
  • $|AC|^2 = |CD| \cdot |BC|$
• Denklemleri Kurma:

  Öncelikle $|BC|$ uzunluğunu bulalım: $|BC| = |BD| + |CD| = 3 + x$.

  Şimdi Öklid bağıntılarını kullanarak denklemleri yazalım:

  • $|AB|^2 = 3 \cdot (3+x)$ (Denklem 1)
  • $|AC|^2 = x \cdot (3+x)$ (Denklem 2)
• Verilen Oranı Kullanma:

  Bize $|AC| = 2 \cdot |AB|$ olduğu verilmiş. Bu ifadeyi karelerini alarak kullanırsak:

  $|AC|^2 = (2 \cdot |AB|)^2 \implies |AC|^2 = 4 \cdot |AB|^2$

• Denklemleri Birleştirme ve Çözme:

  Şimdi Denklem 1 ve Denklem 2'yi bu oranda yerine koyalım:

  $x \cdot (3+x) = 4 \cdot [3 \cdot (3+x)]$

  $x \cdot (3+x) = 12 \cdot (3+x)$

  Her iki tarafta da $(3+x)$ terimi bulunmaktadır. Uzunluklar pozitif olduğu için $3+x \neq 0$ olduğundan, her iki tarafı $(3+x)$ ile bölebiliriz:

  $x = 12$

Buna göre, $|CD| = x$ değeri 12 cm'dir.

Cevap C seçeneğidir.