Bu soruyu çözmek için dik üçgenin kenarları arasındaki oranı ve alan formüllerini kullanacağız.

• 1. Dik Kenarları Tanımlama:

Dik kenarların oranı 3 olarak verilmiş. Bu kenarlara \(a\) ve \(b\) diyelim. Oran \(a/b = 3\) ise, \(a = 3k\) ve \(b = k\) şeklinde ifade edebiliriz (burada \(k\) bir sabittir).

• 2. Hipotenüs Uzunluğunu Bulma:

Pisagor Teoremi'ne göre hipotenüsün karesi, dik kenarların kareleri toplamına eşittir. Hipotenüse \(c\) diyelim:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Değerleri yerine koyalım:

$$c^2 = (3k)^2 + k^2$$

$$c^2 = 9k^2 + k^2$$

$$c^2 = 10k^2$$

$$c = \sqrt{10k^2} = k\sqrt{10}$$

• 3. Hipotenüse Ait Yüksekliği Bulma:

Bir dik üçgenin alanı, dik kenarların çarpımının yarısı veya hipotenüs ile hipotenüse ait yüksekliğin çarpımının yarısı olarak bulunabilir. Hipotenüse ait yüksekliğe \(h\) diyelim:

$$\text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h$$

Bu eşitlikten \(h\)'yi çekelim:

$$a \cdot b = c \cdot h$$

$$h = \frac{a \cdot b}{c}$$

Değerleri yerine koyalım:

$$h = \frac{(3k) \cdot k}{k\sqrt{10}}$$

$$h = \frac{3k^2}{k\sqrt{10}}$$

$$h = \frac{3k}{\sqrt{10}}$$

• 4. İstenen Oranı Hesaplama:

Soruda hipotenüsün uzunluğunun, hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğunun kaç katı olduğu soruluyor, yani \(c/h\) oranını bulmalıyız:

$$\frac{c}{h} = \frac{k\sqrt{10}}{\frac{3k}{\sqrt{10}}}$$

Kesirleri sadeleştirelim:

$$\frac{c}{h} = k\sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt{10}}{3k}$$

$$\frac{c}{h} = \frac{k \cdot (\sqrt{10} \cdot \sqrt{10})}{3k}$$

$$\frac{c}{h} = \frac{k \cdot 10}{3k}$$

$$ \frac{c}{h} = \frac{10}{3} $$

Cevap D seçeneğidir.