Verilen problemde, ABC dik üçgeninde A köşesindeki açı $90^\circ$'dir ve AD, hipotenüs BC'ye ait yüksekliktir. Ayrıca $3 \cdot |BD| = 2 \cdot |CD|$ bağıntısı verilmiştir. Bizden $\frac{|AB|}{|AC|}$ oranını bulmamız isteniyor.

• Adım 1: BD ve CD uzunluklarını belirleyelim.

  Verilen $3 \cdot |BD| = 2 \cdot |CD|$ bağıntısından, $|BD|$ ve $|CD|$ uzunluklarını bir $k$ sabiti cinsinden ifade edebiliriz. $|BD| = 2k$ ve $|CD| = 3k$ olsun.

• Adım 2: Öklid Bağıntılarını uygulayalım.

  Dik üçgenlerde hipotenüse indirilen yükseklik için Öklid Bağıntıları kullanılır. Buna göre:

  • $|AB|^2 = |BD| \cdot |BC|$
  • $|AC|^2 = |CD| \cdot |BC|$

  Öncelikle $|BC|$ uzunluğunu bulalım: $|BC| = |BD| + |CD| = 2k + 3k = 5k$.

  Şimdi bu değerleri Öklid bağıntılarında yerine yazalım:

  • $|AB|^2 = (2k) \cdot (5k) = 10k^2$
  • $|AC|^2 = (3k) \cdot (5k) = 15k^2$
• Adım 3: İstenen oranı hesaplayalım.

  Bizden $\frac{|AB|}{|AC|}$ oranı isteniyor. Önce karelerinin oranını bulalım:

  $$ \frac{|AB|^2}{|AC|^2} = \frac{10k^2}{15k^2} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} $$

  Şimdi her iki tarafın karekökünü alarak istenen oranı bulalım:

  $$ \frac{|AB|}{|AC|} = \sqrt{\frac{2}{3}} $$

  Paydayı rasyonel yapmak için ifadeyi $\sqrt{3}$ ile çarpıp bölelim:

  $$ \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} $$

Cevap C seçeneğidir.