Sorunun Çözümü
Verilen bilgilere göre, ABC bir dik üçgendir ve A köşesi dik açıdır. Ayrıca, ABD üçgeni ikizkenar bir üçgendir.
- 1. Verileri Belirleyelim:
- `\(\triangle ABC\)` dik üçgen, `\(\angle BAC = 90^\circ\)`
- `\(|AB| = |AD|\)` (Bu, `\(\triangle ABD\)`'nin ikizkenar olduğunu gösterir.)
- `\(|BD| = 10 \text{ cm}\)`
- `\(|CD| = 5 \text{ cm}\)`
- `\(|AC| = x\)` isteniyor.
- 2. Pisagor Teoremini `\(\triangle ABC\)`'de Uygulayalım:
- `\(|BC| = |BD| + |CD| = 10 + 5 = 15 \text{ cm}\)`
- `\(\triangle ABC\)` dik üçgen olduğundan, `\(|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2\)`
- `\(|AB|^2 + x^2 = 15^2\)`
- `\(|AB|^2 + x^2 = 225\)` (Denklem 1)
- 3. Kosinüs Teoremini `\(\triangle ADC\)`'de Uygulayalım:
- `\(|AB| = |AD|\)` olduğundan, `\(\triangle ABD\)` ikizkenardır. `\(\angle ABD = \angle ADB\)` olsun. Bu açılara `\(\beta\)` diyelim.
- `\(\triangle ABC\)` dik üçgeninde `\(\cos(\angle ABC) = \cos\beta = \frac{|AB|}{|BC|} = \frac{|AB|}{15}\)`.
- `\(\angle ADB\)` ve `\(\angle ADC\)` bütünler açılardır, yani `\(\angle ADC = 180^\circ - \beta\)`'dir.
- `\(\triangle ADC\)`'de Kosinüs Teoremi'ni uygulayalım:
- `\(|AC|^2 = |AD|^2 + |CD|^2 - 2 \cdot |AD| \cdot |CD| \cdot \cos(\angle ADC)\)`
- `\(x^2 = |AB|^2 + 5^2 - 2 \cdot |AB| \cdot 5 \cdot \cos(180^\circ - \beta)\)` (Çünkü `\(|AD| = |AB|\)`)
- `\(x^2 = |AB|^2 + 25 - 10 \cdot |AB| \cdot (-\cos\beta)\)` (Çünkü `\(\cos(180^\circ - \beta) = -\cos\beta\)` )
- `\(x^2 = |AB|^2 + 25 + 10 \cdot |AB| \cdot \cos\beta\)`
- `\(\cos\beta = \frac{|AB|}{15}\)` değerini yerine koyalım:
- `\(x^2 = |AB|^2 + 25 + 10 \cdot |AB| \cdot \frac{|AB|}{15}\)`
- `\(x^2 = |AB|^2 + 25 + \frac{10|AB|^2}{15}\)`
- `\(x^2 = |AB|^2 + 25 + \frac{2|AB|^2}{3}\)`
- `\(x^2 = \frac{3|AB|^2 + 2|AB|^2}{3} + 25\)`
- `\(x^2 = \frac{5|AB|^2}{3} + 25\)` (Denklem 2)
- 4. Denklem Sistemini Çözelim:
- Denklem 1: `\(|AB|^2 + x^2 = 225\)`
- Denklem 2: `\(x^2 = \frac{5|AB|^2}{3} + 25\)`
- Denklem 2'deki `\(x^2\)` ifadesini Denklem 1'de yerine koyalım:
- `\(|AB|^2 + \left(\frac{5|AB|^2}{3} + 25\right) = 225\)`
- `\(|AB|^2 + \frac{5|AB|^2}{3} = 225 - 25\)`
- `\(\frac{3|AB|^2 + 5|AB|^2}{3} = 200\)`
- `\(\frac{8|AB|^2}{3} = 200\)`
- `\(8|AB|^2 = 600\)`
- `\(|AB|^2 = \frac{600}{8} = 75\)`
- Şimdi `\(|AB|^2 = 75\)` değerini Denklem 1'de yerine koyarak `\(x\)`'i bulalım:
- `\(75 + x^2 = 225\)`
- `\(x^2 = 225 - 75\)`
- `\(x^2 = 150\)`
- `\(x = \sqrt{150} = \sqrt{25 \cdot 6} = 5\sqrt{6}\)`
Cevap A seçeneğidir.