Verilen bilgilere göre, ABC bir üçgendir ve $|AB| = |AC|$ olduğu için ikizkenar bir üçgendir. Ayrıca, $[AB] \perp [AD]$ olduğu için $\angle BAD = 90^\circ$'dir. $|BD| = 5$ cm ve $|CD| = 3$ cm olarak verilmiştir. Bizden $|AD| = x$ uzunluğunu bulmamız isteniyor.

• $\triangle ABD$ üçgeninde Pisagor Teoremi:
  $\angle BAD = 90^\circ$ olduğu için $\triangle ABD$ bir dik üçgendir. Hipotenüs $|BD|$'dir. $|BD|^2 = |AB|^2 + |AD|^2$
  $5^2 = |AB|^2 + x^2$
  $25 = |AB|^2 + x^2$ (Denklem 1)

• $\triangle ABC$ üçgeninde Stewart Teoremi:
  Stewart Teoremi'ne göre, bir üçgende bir kenarortay veya herhangi bir iç doğru (çevyan) için aşağıdaki bağıntı geçerlidir: $|AB|^2 \cdot |CD| + |AC|^2 \cdot |BD| = |BC| \cdot (|AD|^2 + |BD| \cdot |CD|)$
  Verilenler: $|AB| = |AC|$, $|BD| = 5$, $|CD| = 3$, $|AD| = x$.
  $|BC| = |BD| + |CD| = 5 + 3 = 8$.
  $|AB|^2 \cdot 3 + |AB|^2 \cdot 5 = 8 \cdot (x^2 + 5 \cdot 3)$
  $8 \cdot |AB|^2 = 8 \cdot (x^2 + 15)$
  $|AB|^2 = x^2 + 15$ (Denklem 2)

• Denklemleri Çözme:
  Denklem 2'deki $|AB|^2$ ifadesini Denklem 1'de yerine koyalım:
  $25 = (x^2 + 15) + x^2$
  $25 = 2x^2 + 15$
  $25 - 15 = 2x^2$
  $10 = 2x^2$
  $x^2 = 5$
  $x = \sqrt{5}$

Buna göre, $|AD|$ uzunluğu $\sqrt{5}$ cm'dir.

Cevap E seçeneğidir.