Bu soruyu çözmek için Öklid Teoremi'ni kullanacağız. İki dik üçgenin hipotenüse ait yükseklikleri verildiğinde, kenarların uzunlukları ile ilgili bağıntıları kurabiliriz.
- 1. Adım: ABC üçgenini inceleyelim.
ABC bir dik üçgendir ve dik açı A noktasındadır. AF, BC kenarına ait yüksekliktir. Öklid Teoremi'ne göre, bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi izdüşümü ile hipotenüsün tamamının çarpımına eşittir:
\( |AB|^2 = |BF| \cdot |BC| \)
Verilen değerleri yerine yazarsak:
\( |AB|^2 = 4 \cdot |BC| \quad \text{(Denklem 1)} \)
- 2. Adım: BCD üçgenini inceleyelim.
BCD bir dik üçgendir ve dik açı D noktasındadır. DE, BC kenarına ait yüksekliktir. Aynı Öklid Teoremi'ni burada da uygulayabiliriz:
\( |DC|^2 = |CE| \cdot |BC| \)
Verilen değerleri yerine yazarsak:
\( |DC|^2 = 5 \cdot |BC| \quad \text{(Denklem 2)} \)
- 3. Adım: İstenen oranı bulalım.
Bizden \( \frac{|DC|}{|AB|} \) oranı isteniyor. Bu oranı bulmak için Denklem 2'yi Denklem 1'e bölelim:
\( \frac{|DC|^2}{|AB|^2} = \frac{5 \cdot |BC|}{4 \cdot |BC|} \)
|BC| terimleri sadeleşir:
\( \frac{|DC|^2}{|AB|^2} = \frac{5}{4} \)
- 4. Adım: Karekök alarak sonuca ulaşalım.
Her iki tarafın karekökünü alarak istenen oranı buluruz:
\( \sqrt{\frac{|DC|^2}{|AB|^2}} = \sqrt{\frac{5}{4}} \)
\( \frac{|DC|}{|AB|} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}} \)
\( \frac{|DC|}{|AB|} = \frac{\sqrt{5}}{2} \)
Cevap D seçeneğidir.