Bu soruyu adım adım, Öklid Teoremi'ni kullanarak çözeceğiz.

• Verilen Bilgileri Not Edelim:
  • \(\triangle ABC\) ve \(\triangle BEF\) dik üçgenlerdir.
  • \([AD] \perp [BC]\) olduğu için, D noktası BC üzerindedir ve AD hem \(\triangle ABC\) hem de \(\triangle BEF\) için yükseklik görevi görür (F noktası AD üzerindedir).
  • \(\angle BAC = 90^\circ\) ve \(\angle BFE = 90^\circ\) olduğu şekilden ve "dik üçgen" ifadesinden anlaşılır.
  • $|BD| = 8$ cm.
  • $|CE| = 8$ cm.
  • $|DF| = 4$ cm.
  • $|AF| = x$ cm.
• \(\triangle BEF\) Üçgeninde Öklid Teoremi'ni Uygulayalım:
  • \(\triangle BEF\) dik üçgeninde, F köşesinden hipotenüs BE'ye inen dikme FD'dir.
  • Öklid Teoremi'ne göre, yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir: \(|FD|^2 = |BD| \cdot |DE|\).
  • Verilen değerleri yerine yazalım: \(4^2 = 8 \cdot |DE|\).
  • \(16 = 8 \cdot |DE|\).
  • Buradan \(|DE| = \frac{16}{8} = 2\) cm bulunur.
• BC Uzunluğunu Bulalım:
  • $|BC| = |BD| + |DE| + |EC|$.
  • $|BC| = 8 + 2 + 8 = 18$ cm.
• \(\triangle ABC\) Üçgeninde Öklid Teoremi'ni Uygulayalım:
  • \(\triangle ABC\) dik üçgeninde, A köşesinden hipotenüs BC'ye inen dikme AD'dir.
  • Öklid Teoremi'ne göre, yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir: \(|AD|^2 = |BD| \cdot |DC|\).
  • $|BD| = 8$ cm.
  • $|DC| = |DE| + |EC| = 2 + 8 = 10$ cm.
  • Verilen değerleri yerine yazalım: \(|AD|^2 = 8 \cdot 10\).
  • \(|AD|^2 = 80\).
  • Buradan \(|AD| = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}\) cm bulunur.
• x Değerini Bulalım:
  • AD uzunluğu, AF ve FD uzunluklarının toplamıdır: \(|AD| = |AF| + |FD|\).
  • $4\sqrt{5} = x + 4$.
  • $x = 4\sqrt{5} - 4$ cm.

Cevap C seçeneğidir.