Adım 1: Verilen Bilgileri Değerlendirme

• \(\triangle ABC\) dik üçgen ve E, hipotenüs BC'nin orta noktasıdır (çünkü \(|BE| = |EC|\)). Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir. Bu durumda, \(|AE| = |BE| = |EC|\) olur.
• \(|EC| = k\) dersek, \(|AE| = k\) ve \(|BC| = 2k\) olur.
• \(\triangle AEC\) ikizkenar üçgendir (\(|AE| = |EC|\)).
• \(\triangle EDC\) dik üçgendir (\(\angle EDC = 90^\circ\)).
• AF \(\perp\) BC olduğundan, F noktası BC üzerindedir ve \(\angle AFC = 90^\circ\).
• D noktası AF üzerindedir. Bu durumda \(\triangle DFC\) de F noktasında dik üçgendir (\(\angle DFC = 90^\circ\)).

Adım 2: Açı İlişkilerini Kurma

• \(\angle ACB = \alpha\) diyelim.
• \(\triangle AEC\) ikizkenar olduğundan (\(|AE| = |EC|\)), taban açıları eşittir: \(\angle EAC = \angle ECA = \alpha\).

Adım 3: \(\triangle EDC\) Üçgeninde Trigonometrik Bağıntı

• \(\triangle EDC\) dik üçgeninde (\(\angle EDC = 90^\circ\)), C açısına göre kosinüs bağıntısını yazalım:
• \(|CD| = |EC| \cos(\angle ECD)\)
• \(6 = k \cos \alpha\) (Denklem 1)

Adım 4: \(\triangle DFC\) Üçgeninde Trigonometrik Bağıntı

• D noktası AF üzerinde ve AF \(\perp\) BC olduğundan, \(\triangle DFC\) F noktasında dik üçgendir. C açısına göre kosinüs bağıntısını yazalım:
• \(|FC| = |CD| \cos(\angle FCD)\)
• \(|FC| = 6 \cos \alpha\) (Denklem 2)

Adım 5: \(\triangle ABC\) Üçgeninde Öklid Bağıntısı

• \(\triangle ABC\) dik üçgeninde, hipotenüse ait yükseklik AF olduğundan Öklid bağıntısı gereği:
• \(|AC|^2 = |FC| \cdot |BC|\)
• \(x^2 = |FC| \cdot (2k)\) (Denklem 3)

Adım 6: Denklemleri Birleştirerek x'i Bulma

• Denklem 2'yi Denklem 3'te yerine koyalım:
• \(x^2 = (6 \cos \alpha) \cdot (2k)\)
• \(x^2 = 12 (k \cos \alpha)\)
• Denklem 1'den \(k \cos \alpha = 6\) olduğunu biliyoruz. Bunu son denklemde yerine koyalım:
• \(x^2 = 12 \cdot 6\)
• \(x^2 = 72\)
• \(x = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\) cm.