Bu problemde, dik üçgen ve ikizkenar üçgen özelliklerini birleştirerek bilinmeyen kenar uzunluğunu bulacağız. Özellikle Pisagor Teoremi ve Stewart Teoremi'ni kullanarak sonuca ulaşabiliriz.
- 1. Verilenleri Belirleme:
\(\triangle ABC\) bir dik üçgendir (\(\angle BAC = 90^\circ\)). \(|AB| = |AD| = a\), \(|BD| = 6\) birim, \(|CD| = 4\) birim. Aranan: \(|AC| = x\).
- 2. Pisagor Teoremi Uygulaması:
\(\triangle ABC\)'de Pisagor Teoremi'ni uygulayalım:
\(|AB|^2 + |AC|^2 = |BC|^2\)
\(a^2 + x^2 = (|BD| + |CD|)^2\)
\(a^2 + x^2 = (6+4)^2 = 10^2 = 100\) (Denklem 1)
- 3. Stewart Teoremi Uygulaması:
\(\triangle ABC\)'de AD kenarortayı (cevian) için Stewart Teoremi'ni uygulayalım:
\(|AB|^2 \cdot |CD| + |AC|^2 \cdot |BD| = |BC| \cdot (|AD|^2 + |BD| \cdot |CD|)\)
Verilen değerleri yerine yazalım:
\(a^2 \cdot 4 + x^2 \cdot 6 = (6+4) \cdot (a^2 + 6 \cdot 4)\)
\(4a^2 + 6x^2 = 10(a^2 + 24)\)
\(4a^2 + 6x^2 = 10a^2 + 240\)
Denklemi düzenleyelim:
\(6x^2 - 6a^2 = 240\)
Her tarafı 6'ya bölelim:
\(x^2 - a^2 = 40\)
\(x^2 = a^2 + 40\) (Denklem 2)
- 4. Denklem Sistemini Çözme:
Denklem 2'yi ( \(x^2 = a^2 + 40\) ) Denklem 1'de ( \(a^2 + x^2 = 100\) ) yerine koyalım:
\(a^2 + (a^2 + 40) = 100\)
\(2a^2 + 40 = 100\)
\(2a^2 = 60 \implies a^2 = 30\)
\(a^2 = 30\) değerini Denklem 2'de yerine koyarsak:
\(x^2 = 30 + 40 = 70\)
Son olarak \(x\) değerini bulalım:
\(x = \sqrt{70}\)
Cevap A seçeneğidir.