Verilen ABCD dörtgeninde, istenen |BC| = x uzunluğunu bulmak için adım adım ilerleyelim.
-
Öncelikle, C noktasından AB doğrusuna bir dikme indirelim. Bu dikmenin AB üzerindeki ayağına H diyelim. Böylece CH ⊥ AB olur.
-
Soruda AD ⊥ AB ve CD // AB olduğu belirtilmiştir. Ayrıca biz CH ⊥ AB çizdik. Bu durumda ADHC bir dikdörtgen oluşturur.
- Dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşit olduğundan, |AH| = |CD| = 4 cm olur.
- Yine aynı şekilde, |CH| = |AD| = \(4\sqrt{2}\) cm olur.
-
Şimdi ACH dik üçgenine bakalım. H noktasında dik açı vardır. Pisagor teoremini kullanarak |AC| uzunluğunu bulabiliriz:
\(|AC|^2 = |AH|^2 + |CH|^2\)
\(|AC|^2 = 4^2 + (4\sqrt{2})^2\)
\(|AC|^2 = 16 + (16 \cdot 2)\)
\(|AC|^2 = 16 + 32\)
\(|AC|^2 = 48\)
\(|AC| = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\) cm.
-
Şimdi ACB dik üçgenine bakalım. C noktasında dik açı vardır (AC ⊥ BC). CH, hipotenüs AB'ye ait yüksekliktir. Öklid bağıntılarından birini kullanabiliriz:
\(|AC|^2 = |AH| \cdot |AB|\)
Bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
\(48 = 4 \cdot |AB|\)
\(|AB| = \frac{48}{4} = 12\) cm.
-
|AB| uzunluğunu bulduğumuza göre, |BH| uzunluğunu hesaplayabiliriz:
\(|AB| = |AH| + |BH|\)
\(12 = 4 + |BH|\)
\(|BH| = 12 - 4 = 8\) cm.
-
Son olarak, CHB dik üçgenine bakalım. H noktasında dik açı vardır. Pisagor teoremini kullanarak |BC| = x uzunluğunu bulabiliriz:
\(|BC|^2 = |CH|^2 + |BH|^2\)
\(x^2 = (4\sqrt{2})^2 + 8^2\)
\(x^2 = (16 \cdot 2) + 64\)
\(x^2 = 32 + 64\)
\(x^2 = 96\)
\(x = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}\) cm.
Böylece |BC| = x uzunluğunu \(4\sqrt{6}\) cm olarak buluruz.
Cevap A seçeneğidir.