Bu problemde, dik üçgende Öklid teoremini kullanarak kenar uzunluklarını bulacağız.

• Verilen Bilgiler:
  • ABC bir dik üçgen ve A köşesi dik açıdır.
  • AD \(\perp\) BC, yani AD, BC kenarına ait yüksekliktir.
  • \(|AC| - |CD| = 2\) cm
  • \(|BD| = 5\) cm
• Değişken Tanımlama:
  • \(|AD| = h\) (Aradığımız değer)
  • \(|CD| = x\) diyelim.
  • Bu durumda \(|AC| = x + 2\) olur.
• Öklid Teoremi Uygulaması (Yan Kenar Bağıntısı):

  Dik üçgende hipotenüse inen dikme varsa, bir dik kenarın karesi, hipotenüs üzerindeki kendi tarafındaki parçası ile tüm hipotenüsün çarpımına eşittir.

  \(|AC|^2 = |CD| \cdot |BC|\)

  \((x + 2)^2 = x \cdot (|BD| + |CD|)\)

  \((x + 2)^2 = x \cdot (5 + x)\)

• Denklemi Çözme:

  \(x^2 + 4x + 4 = 5x + x^2\)

  \(4x + 4 = 5x\)

  \(4 = 5x - 4x\)

  \(x = 4\)

  Yani, \(|CD| = 4\) cm'dir.

• Öklid Teoremi Uygulaması (Yükseklik Bağıntısı):

  Dik üçgende hipotenüse inen dikmenin karesi, hipotenüs üzerinde ayırdığı parçaların çarpımına eşittir.

  \(|AD|^2 = |BD| \cdot |CD|\)

  \(h^2 = 5 \cdot 4\)

  \(h^2 = 20\)

  \(h = \sqrt{20}\)

  \(h = \sqrt{4 \cdot 5}\)

  \(h = 2\sqrt{5}\)

Buna göre, \(|AD|\) uzunluğu \(2\sqrt{5}\) cm'dir.

Cevap C seçeneğidir.