Verilen bilgilere göre, soruyu adım adım çözelim:

• 1. Dik Üçgenleri Belirleme:

  • [AD] \(\perp\) [BC]

    olduğundan,

    \(\triangle ABE\)

    ve

    \(\triangle BDE\)

    E noktasında dik açılı üçgenlerdir (

    \(\angle AEB = \angle BED = 90^\circ\)

    ).

  • [AB] \(\perp\) [BD]

    olduğundan,

    \(\triangle ABD\)

    B noktasında dik açılı üçgendir (

    \(\angle ABD = 90^\circ\)

    ).

  • [AB] \(\perp\) [AC]

    olduğundan,

    \(\triangle ABC\)

    A noktasında dik açılı üçgendir (

    \(\angle BAC = 90^\circ\)

    ).
• 2.

  |BD|

  Uzunluğunu Bulma:

  • \(\triangle BDE\)

    dik üçgeninde Pisagor Teoremi uygulayalım:

  • |BE| = 4 cm

    ve

    |DE| = 2 cm

    verilmiş.

  • \(|BD|^2 = |BE|^2 + |DE|^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20\)

  • \(|BD| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)

    cm.
• 3. Benzer Üçgenleri Kullanarak

  |AE|

  Uzunluğunu Bulma:

  • \(\triangle ABE\)

    ve

    \(\triangle BDE\)

    üçgenlerine bakalım.

  • \(\angle AEB = \angle BED = 90^\circ\)

    .

  • \(\angle BAE = \alpha\)

    dersek,

    \(\triangle ABE\)

    dik üçgeninden

    \(\angle ABE = 90^\circ - \alpha\)

    olur.

  • \(\triangle ABD\)

    dik üçgen olduğundan

    \(\angle ABD = 90^\circ\)

    dir.
  • Bu durumda

    \(\angle EBD = \angle ABD - \angle ABE = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha\)

    olur.
  • Yani

    \(\angle BAE = \angle EBD = \alpha\)

    ve

    \(\angle ABE = \angle BDE = 90^\circ - \alpha\)

    (çünkü

    \(\triangle BDE\)

    de

    \(\angle BED = 90^\circ\)

    ).
  • Bu durumda

    \(\triangle ABE \sim \triangle BDE\)

    (Açı-Açı benzerliği).
  • Benzerlik oranından:

    \(\frac{|AE|}{|BE|} = \frac{|BE|}{|DE|}\)

  • \(\frac{|AE|}{4} = \frac{4}{2}\)

  • \(|AE| = 4 \times 2 = 8\)

    cm.
• 4. Öklid Bağıntısını Kullanarak

  |CE|

  Uzunluğunu Bulma:

  • \(\triangle ABC\)

    A noktasında dik açılı bir üçgendir ve AE bu üçgenin hipotenüse ait yüksekliğidir.
  • Öklid bağıntılarından biri

    \(|AE|^2 = |BE| \times |CE|\)

    şeklindedir.

  • \(8^2 = 4 \times |CE|\)

  • \(64 = 4 \times |CE|\)

  • \(|CE| = 16\)

    cm.
• 5.

  |AC| = x

  Uzunluğunu Bulma:
  • Yine

    \(\triangle ABC\)

    dik üçgeninde Öklid bağıntılarından bir diğeri

    \(|AC|^2 = |CE| \times |BC|\)

    şeklindedir.
  • Önce

    |BC|

    uzunluğunu bulalım:

    |BC| = |BE| + |CE| = 4 + 16 = 20

    cm.
  • Şimdi

    |AC|

    uzunluğunu hesaplayalım:

  • \(x^2 = |AC|^2 = 16 \times 20\)

  • \(x^2 = 320\)

  • \(x = \sqrt{320} = \sqrt{64 \times 5} = 8\sqrt{5}\)

    cm.

Cevap E seçeneğidir.