Verilen bilgilere göre $\alpha$ açısını adım adım bulalım:

• Açıortay ve Paralellik Özelliği:
  • $[BI]$ açıortay olduğundan $m(\widehat{IBC}) = m(\widehat{DBI}) = x$ diyelim.
  • $[CI]$ açıortay olduğundan $m(\widehat{ICB}) = m(\widehat{ECI}) = y$ diyelim.
  • $DE \parallel BC$ olduğundan, iç ters açılar (Z kuralı) gereği:
    • $m(\widehat{DIB}) = m(\widehat{IBC}) = x$
    • $m(\widehat{EIC}) = m(\widehat{ICB}) = y$
• İkizkenar Üçgenlerin Belirlenmesi:
  • $\triangle DBI$ üçgeninde $m(\widehat{DBI}) = m(\widehat{DIB}) = x$ olduğundan, bu bir ikizkenar üçgendir ve $|DI| = |BD|$.
  • $\triangle ECI$ üçgeninde $m(\widehat{ECI}) = m(\widehat{EIC}) = y$ olduğundan, bu da bir ikizkenar üçgendir ve $|EI| = |EC|$.
• Verilen Uzunluk Bilgisinin Kullanılması:
  • Soruda $|BD| = |EC| = \frac{|BC|}{3}$ olarak verilmiştir.
  • Yukarıdaki ikizkenar üçgen özelliklerinden dolayı $|DI| = |BD| = \frac{|BC|}{3}$ ve $|EI| = |EC| = \frac{|BC|}{3}$ olur.
• $|DE|$ Uzunluğunun Hesaplanması:
  • $|DE| = |DI| + |IE| = \frac{|BC|}{3} + \frac{|BC|}{3} = \frac{2|BC|}{3}$.
• Benzerlik ve Kenar Oranları:
  • $DE \parallel BC$ olduğundan, $\triangle ADE$ ve $\triangle ABC$ üçgenleri benzerdir.
  • Benzerlik oranı $k = \frac{|DE|}{|BC|} = \frac{2|BC|/3}{|BC|} = \frac{2}{3}$'tür.
  • Bu benzerlik oranı kenarlar için de geçerlidir: $\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{2}{3}$.
  • Buradan $|AD| = \frac{2}{3}|AB|$ ve $|AE| = \frac{2}{3}|AC|$ bulunur.
  • Dolayısıyla $|BD| = |AB| - |AD| = |AB| - \frac{2}{3}|AB| = \frac{1}{3}|AB|$.
  • Ve $|EC| = |AC| - |AE| = |AC| - \frac{2}{3}|AC| = \frac{1}{3}|AC|$.
• Üçgenin Kenar Uzunluklarının Eşitliği:
  • $|BD| = \frac{1}{3}|AB|$ ve $|BD| = \frac{1}{3}|BC|$ eşitliklerinden $|AB| = |BC|$ sonucuna ulaşırız.
  • $|EC| = \frac{1}{3}|AC|$ ve $|EC| = \frac{1}{3}|BC|$ eşitliklerinden $|AC| = |BC|$ sonucuna ulaşırız.
  • Bu durumda $|AB| = |BC| = |AC|$ olur. Yani $\triangle ABC$ bir eşkenar üçgendir.
• Açıların Belirlenmesi:
  • $\triangle ABC$ eşkenar üçgen olduğundan tüm iç açıları $60^\circ$'dir: $m(\widehat{A}) = m(\widehat{B}) = m(\widehat{C}) = 60^\circ$.
  • $[BI]$ açıortay olduğundan $x = m(\widehat{IBC}) = \frac{m(\widehat{B})}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
  • $[CI]$ açıortay olduğundan $y = m(\widehat{ICB}) = \frac{m(\widehat{C})}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
• $\alpha$ Açısının Hesaplanması:
  • $\triangle BIC$ üçgeninde iç açılar toplamı $180^\circ$'dir.
  • $\alpha + m(\widehat{IBC}) + m(\widehat{ICB}) = 180^\circ$
  • $\alpha + 30^\circ + 30^\circ = 180^\circ$
  • $\alpha + 60^\circ = 180^\circ$
  • $\alpha = 120^\circ$

Cevap C seçeneğidir.