Sorunun Çözümü
- $|AB| = |AF| + |BF| = 4 cm + 6 cm = 10 cm$.
- E noktasından geçen ve $AB$ kenarına paralel olan bir doğru çizelim. Bu doğru $AD$ kenarını $P$ noktasında, $BC$ kenarını $Q$ noktasında kessin.
- $EF \perp AB$ olduğundan, $EF$ aynı zamanda $PQ$ doğrusuna da diktir. Bu durumda $APFE$ ve $BFQE$ birer dikdörtgendir.
- Dolayısıyla $|AP| = |EF| = \sqrt{6} cm$ ve $|BQ| = |EF| = \sqrt{6} cm$.
- $|PE| = |AF| = 4 cm$ ve $|EQ| = |BF| = 6 cm$.
- $|AD| = h$ dersek, $|DP| = |AD| - |AP| = h - \sqrt{6} cm$.
- $|BC| = h$ olduğundan, $|CQ| = |BC| - |BQ| = h - \sqrt{6} cm$.
- $DE \perp EC$ verildiğinden, $\triangle DEC$ bir dik üçgendir. $P, E, Q$ noktaları aynı doğru üzerinde ve $PQ \parallel DC$.
- $\triangle DPE$ ve $\triangle QEC$ dik üçgenlerdir ($\angle DPE = 90^\circ$, $\angle CQE = 90^\circ$).
- $\angle PDE = x$ ve $\angle DCE = y$ olsun. $\triangle DEC$'de $x+y=90^\circ$.
- $\triangle DPE$'de $\angle PDE = x$ olduğundan $\angle DEP = 90^\circ - x = y$.
- $\triangle QEC$'de $\angle QCE = y$ olduğundan $\angle CEQ = 90^\circ - y = x$.
- Bu durumda $\triangle DPE \sim \triangle QEC$ (A.A. benzerliği: $\angle DPE = \angle CQE = 90^\circ$ ve $\angle PDE = \angle CEQ = x$).
- Benzerlikten $\frac{|DP|}{|PE|} = \frac{|EQ|}{|CQ|}$ yazılır.
- $|DP| \cdot |CQ| = |PE| \cdot |EQ|$.
- $(h - \sqrt{6}) \cdot (h - \sqrt{6}) = 4 \cdot 6$.
- $(h - \sqrt{6})^2 = 24$.
- $h - \sqrt{6} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ (çünkü $h > \sqrt{6}$ olmalı).
- $h = \sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 3\sqrt{6} cm$.
- Dikdörtgenin alanı $A(ABCD) = |AB| \cdot |AD| = 10 cm \cdot 3\sqrt{6} cm = 30\sqrt{6} cm^2$.
- Doğru Seçenek E'dır.