Sorunun Çözümü
- Verilen bilgilere göre, $\triangle ABC$ ve $\triangle BCD$ dik üçgenlerdir. $\angle BAC = 90^\circ$ ve $\angle BDC = 90^\circ$ olarak gösterilmiştir.
- $AE \perp BC$ ve $DF \perp BC$ olduğundan, $AE$ ve $DF$ ilgili dik üçgenlerin hipotenüse ait yükseklikleridir.
- Öklid bağıntısına göre, $\triangle ABC$'de hipotenüse ait yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir: $|AE|^2 = |BE| \cdot |EC|$.
- $|AE|=6 cm$, $|BE|=x$ ve $|EC| = |EF| + |FC| = 8 + y$ olarak alırsak, $6^2 = x(8+y)$ yani $36 = 8x + xy$ denklemini elde ederiz.
- Benzer şekilde, $\triangle BCD$'de $|DF|^2 = |BF| \cdot |FC|$'dir.
- $|DF|=4 cm$, $|FC|=y$ ve $|BF| = |BE| + |EF| = x + 8$ olarak alırsak, $4^2 = (x+8)y$ yani $16 = xy + 8y$ denklemini elde ederiz.
- Elde ettiğimiz iki denklemi kullanarak $x$ ve $y$ arasındaki ilişkiyi bulalım:
- $36 = 8x + xy$
- $16 = xy + 8y$
- İlk denklemden $xy = 36 - 8x$ ve ikinci denklemden $xy = 16 - 8y$ ifadelerini çıkarırız.
- Bu iki ifadeyi eşitleyerek $36 - 8x = 16 - 8y$ denklemini elde ederiz.
- Denklemi düzenlersek $36 - 16 = 8x - 8y \Rightarrow 20 = 8(x-y)$ olur.
- Buradan $|BE| - |FC|$ değerini, yani $x-y$'yi, $x-y = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5 cm$ olarak buluruz.
- Doğru Seçenek C'dır.