Sorunun Çözümü
- DE // BC ve [BE] açıortay olduğundan $\angle DBE = \angle EBC$ ve $\angle DEB = \angle EBC$ (iç ters açılar). Bu durumda $\angle DBE = \angle DEB$ olur.
- $\triangle BDE$ üçgeni ikizkenar olduğundan $|DB| = |DE|$'dir.
- Verilen $|DB|/|BC| = 1/2$ oranından $|BC| = 2|DB|$ elde edilir. $|DB| = |DE|$ olduğundan $|BC| = 2|DE|$'dir.
- DE // BC olduğundan $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ (benzer üçgenler). Benzerlik oranından $|AD|/|AB| = |AE|/|AC| = |DE|/|BC|$ olur.
- $|DE|/|BC| = |DE|/(2|DE|) = 1/2$ olduğundan, $|AD|/|AB| = 1/2 \implies |AB| = 2|AD|$ ve $|AE|/|AC| = 1/2 \implies |AC| = 2|AE|$'dir.
- $|AB| = |AD| + |DB|$ olduğundan $2|AD| = |AD| + |DB| \implies |AD| = |DB|$ bulunur. Böylece $|AD| = |DB| = |DE|$ olur. (Önerme IV doğrudur.)
- $|AC| = 2|AE|$ olduğundan E noktası AC kenarının orta noktasıdır. Yani $|AE| = |EC|$'dir. (Önerme III doğrudur.)
- $|AB| = 2|AD|$ ve $|AD| = |DB|$ olduğundan $|AB| = 2|DB|$'dir. $|BC| = 2|DB|$ olduğundan $|AB| = |BC|$'dir. Bu durumda $\triangle ABC$ ikizkenar üçgendir.
- I. BE $\perp$ AC: $\triangle ABC$ ikizkenar ($|AB| = |BC|$) ve BE, B açısının açıortayı olduğundan, BE aynı zamanda AC kenarına ait yüksekliktir. Bu nedenle BE $\perp$ AC daima doğrudur.
- II. $|AB| = |AC|$: $|AB| = |BC|$ olduğunu biliyoruz. $|AB| = |AC|$ olması için $\triangle ABC$'nin eşkenar üçgen olması gerekir ki bu her zaman doğru değildir. Bu nedenle önerme II daima doğru değildir.
- V. $m(\widehat{BDE}) = m(\widehat{BCE})$: $\triangle ABC$ ikizkenar ($|AB| = |BC|$) olduğundan $\angle A = \angle C$'dir. $\angle B = 2\angle DBE$'dir. $\triangle ABC$'de $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \implies \angle C + 2\angle DBE + \angle C = 180^\circ \implies 2\angle C + 2\angle DBE = 180^\circ \implies \angle C + \angle DBE = 90^\circ$. Yani $\angle C = 90^\circ - \angle DBE$'dir. $\triangle BDE$'de $\angle BDE = 180^\circ - (\angle DBE + \angle DEB) = 180^\circ - 2\angle DBE$'dir. Önerme V'in doğru olması için $180^\circ - 2\angle DBE = 90^\circ - \angle DBE$ olmalıdır. Bu da $90^\circ = \angle DBE$ sonucunu verir. Eğer $\angle DBE = 90^\circ$ olursa $\angle B = 180^\circ$ olur ki bu bir üçgen için imkansızdır. Bu nedenle önerme V daima doğru değildir.
- Doğru Seçenek D'dır.