Verilen problemde, dik üçgen ABC'de AD yüksekliği çizilmiştir. Bu durumda Öklid Bağıntıları'nı kullanabiliriz.

• Öklid Bağıntısı'nı Uygula:

Dik üçgende yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir:

$$|AD|^2 = |BD| \cdot |CD|$$

Verilen değerleri yerine yazalım:

$$(3\sqrt{5})^2 = m \cdot n$$

$$9 \cdot 5 = mn$$

$$mn = 45$$

• Verilen Bilgiyi Kullan:

Soruda bize $m^2 + n^2 = 106$ bilgisi verilmiştir.

• İstenen Uzunluğu Bul:

Bizden $|BC|$ uzunluğu isteniyor. Şekilden de görüldüğü gibi $|BC| = |BD| + |CD| = m + n$.

$(m+n)^2$ ifadesinin açılımını kullanarak $m+n$ değerini bulabiliriz:

$$(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$$

$(m^2 + n^2)$ ve $mn$ değerlerini yerine koyalım:

$$(m+n)^2 = (m^2 + n^2) + 2mn$$

$$(m+n)^2 = 106 + 2(45)$$

$$(m+n)^2 = 106 + 90$$

$$(m+n)^2 = 196$$

• Sonucu Hesapla:

Her iki tarafın karekökünü alalım:

$$m+n = \sqrt{196}$$

$$m+n = 14$$

Bu durumda, $|BC| = 14$ birimdir.

Cevap B seçeneğidir.