Verilen bilgilere göre, ABC ve BDE birer dik üçgendir. AF doğrusu BC'ye diktir ve D noktasından F noktasına inen doğru parçası da BC'ye diktir. Bu durum, A, D ve F noktalarının aynı doğru üzerinde olduğunu gösterir. Yani, $AF = AD + DF$ eşitliği geçerlidir.

• Adım 1: Verilenleri ve şekli analiz etme

  Şekilde, $\triangle ABC$ ve $\triangle BDE$ dik üçgenlerdir. $m(\angle BAC) = 90^\circ$ ve $m(\angle BDE) = 90^\circ$. Ayrıca, $AF \perp BC$ ve $DF \perp BC$ olduğu belirtilmiştir. Bu durumda, F noktası hem ABC üçgeninin hem de BDE üçgeninin hipotenüsüne ait yüksekliklerin ayağıdır.

  Verilen uzunluklar: $|DF| = 2$ cm, $|BF| = 4$ cm, $|EC| = 8$ cm. $|AD| = x$ istenmektedir.

• Adım 2: $\triangle BDE$ üçgeninde Öklid bağıntısını kullanma

  $\triangle BDE$ dik üçgeninde, D köşesinden hipotenüs BE'ye inen yükseklik DF'dir. Öklid bağıntısına göre, yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir:

  $\qquad |DF|^2 = |BF| \cdot |FE|$

  Verilen değerleri yerine yazalım:

  $\qquad 2^2 = 4 \cdot |FE|$

  $\qquad 4 = 4 \cdot |FE|$

  Buradan $|FE|$ uzunluğunu buluruz:

  $\qquad |FE| = 1$ cm.

• Adım 3: $\triangle ABC$ üçgeninde Öklid bağıntısını kullanma

  Şimdi, $\triangle ABC$ dik üçgenine bakalım. A köşesinden hipotenüs BC'ye inen yükseklik AF'dir. Öklid bağıntısına göre, yüksekliğin karesi, ayırdığı parçaların çarpımına eşittir:

  $\qquad |AF|^2 = |BF| \cdot |FC|$

  Öncelikle $|FC|$ uzunluğunu bulmalıyız. $|FC| = |FE| + |EC|$ olduğundan:

  $\qquad |FC| = 1 + 8 = 9$ cm.

  Şimdi $|AF|$ uzunluğunu hesaplayalım:

  $\qquad |AF|^2 = 4 \cdot 9$

  $\qquad |AF|^2 = 36$

  $\qquad |AF| = 6$ cm.

• Adım 4: x değerini bulma

  A, D, F noktaları doğrusal olduğundan, $|AF| = |AD| + |DF|$ eşitliği geçerlidir. Biz $|AF| = 6$ cm ve $|DF| = 2$ cm olduğunu biliyoruz. $|AD| = x$ olarak verilmiştir.

  $\qquad 6 = x + 2$

  Denklemi çözerek x değerini buluruz:

  $\qquad x = 6 - 2$

  $\qquad x = 4$ cm.

Cevap C seçeneğidir.