Verilen bilgilere göre adım adım çözümü aşağıdadır:

• Karenin Kenar Uzunlukları: ABCD bir kare ve |AB| = 6 birim olduğundan, karenin tüm kenar uzunlukları 6 birimdir. Yani, |AD| = |BC| = |CD| = 6 birimdir.
• E Noktasının Konumu: |DE| = |EC| olduğu belirtilmiştir. Bu, E noktasının DC kenarının orta noktası olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, |DE| = |EC| = |CD| / 2 = 6 / 2 = 3 birimdir.
• Benzer Üçgenleri Belirleme:
  • AB kenarı ile DC kenarı (ve dolayısıyla DE kenarı) birbirine paraleldir (karenin karşı kenarları).
  • Bu paralellikten dolayı, AE keseni ile oluşan iç ters açılar eşittir: \(\angle FAB = \angle FED\).
  • BD keseni ile oluşan iç ters açılar eşittir: \(\angle ABF = \angle EDF\).
  • F noktasında kesişen doğruların oluşturduğu ters açılar eşittir: \(\angle AFB = \angle EFD\).
  Bu durumda, Açı-Açı-Açı (AAA) benzerlik kuralına göre \(\triangle ABF \sim \triangle EDF\) üçgenleri benzerdir.
• Benzerlik Oranı: Benzer üçgenlerin karşılıklı kenarları oranlıdır: \[ \frac{|AB|}{|ED|} = \frac{|BF|}{|DF|} = \frac{|AF|}{|EF|} \] Bilinen kenar uzunluklarını yerine yazalım: \[ \frac{6}{3} = \frac{|BF|}{|DF|} = \frac{|AF|}{|EF|} \] Benzerlik oranı 2'dir. Yani, \(\frac{|BF|}{|DF|} = 2 \implies |BF| = 2 \cdot |DF|\).
• Köşegen Uzunluğunu Hesaplama: ABCD karesinin köşegeni olan BD'nin uzunluğunu bulalım. \(\triangle ABD\) bir dik üçgendir. Pisagor teoremini kullanarak: \[ |BD|^2 = |AB|^2 + |AD|^2 \] \[ |BD|^2 = 6^2 + 6^2 \] \[ |BD|^2 = 36 + 36 \] \[ |BD|^2 = 72 \] \[ |BD| = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2} \text{ birim} \]
• x Değerini Bulma: Köşegen BD, F noktasında BF ve DF parçalarına ayrılmıştır. Yani, \(|BD| = |BF| + |DF|\). Bizden |BF| = x isteniyor. Benzerlik oranından \(|BF| = 2 \cdot |DF|\) olduğunu biliyoruz. Bu durumda, \(|DF| = \frac{|BF|}{2} = \frac{x}{2}\) olur. Şimdi bu değerleri köşegen uzunluğu denkleminde yerine yazalım: \[ 6\sqrt{2} = x + \frac{x}{2} \] Paydaları eşitleyelim: \[ 6\sqrt{2} = \frac{2x}{2} + \frac{x}{2} \] \[ 6\sqrt{2} = \frac{3x}{2} \] Her iki tarafı 2 ile çarpalım: \[ 12\sqrt{2} = 3x \] Her iki tarafı 3'e bölelim: \[ x = \frac{12\sqrt{2}}{3} \] \[ x = 4\sqrt{2} \text{ birim} \]

Cevap D seçeneğidir.