Verilen bilgilere göre, ABC bir dik üçgendir ve LDMK ile AKEF dikdörtgenleri eştir.

• 1. Dik Üçgenin Köşesini Belirleme:

  AKEF dikdörtgeninin köşeleri A, K, E, F'dir. Şekildeki dik açı işaretleri, A noktasının dikdörtgenin bir köşesi olduğunu ve $AK \perp AF$ olduğunu gösterir. $K$ noktası $AB$ kenarı üzerinde, $F$ noktası ise $AC$ kenarı üzerindedir. Bu durum, $AB \perp AC$ olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, $ABC$ dik üçgeninin dik açısı $A$ köşesindedir ($\angle A = 90^\circ$).

• 2. Dikdörtgenlerin Boyutlarını Belirleme:

  AKEF dikdörtgeninin kenar uzunlukları $|AK|=2$ birim ve $|AF|=5$ birimdir. LDMK dikdörtgeni AKEF ile eş olduğundan, LDMK'nin kenar uzunlukları da 2 ve 5 birimdir.

• 3. Koordinat Sistemi Kurma:

  A noktasını orijin $(0,0)$ olarak alalım. $AB$ kenarını x-ekseni üzerine, $AC$ kenarını y-ekseni üzerine yerleştirelim.

  • $K$ noktası $AB$ üzerinde ve $|AK|=2$ olduğundan $K=(2,0)$.
  • $F$ noktası $AC$ üzerinde ve $|AF|=5$ olduğundan $F=(0,5)$.
  • AKEF bir dikdörtgen olduğundan, $E$ noktasının koordinatları $(2,5)$ olur.
• 4. LDMK Dikdörtgeninin Konumunu ve Boyutlarını Belirleme:

  LDMK dikdörtgeninin $L$ ve $K$ köşeleri $AB$ kenarı üzerindedir. $D$ köşesi $BC$ kenarı üzerindedir. Şekilden $A, K, L, B$ noktalarının $AB$ doğrusu üzerinde bu sırada yer aldığı görülmektedir. $K=(2,0)$ olduğundan, $L$ noktasının koordinatı $(x_L, 0)$ ve $|KL| = x_L - 2$ olur. $LD$ kenarı $AC$ kenarına paraleldir (çünkü $LD \perp AB$ ve $AC \perp AB$). Dolayısıyla $D$ noktasının x-koordinatı $L$ ile aynıdır: $D=(x_L, y_D)$. Bu durumda $|LD| = y_D$ olur.

  LDMK dikdörtgeninin kenar uzunlukları 2 ve 5 birimdir. İki olası durum vardır:

  • Durum 1: $|KL|=2$ ve $|LD|=5$.

    $x_L - 2 = 2 \implies x_L = 4$. Böylece $L=(4,0)$.

    $y_D = 5$. Böylece $D=(4,5)$.

    Bu durumda $E=(2,5)$ ve $D=(4,5)$ noktaları $BC$ doğrusu üzerinde olur. İki noktanın da y-koordinatı 5 olduğundan, $BC$ doğrusu yatay olmalıdır. Ancak $B$ x-ekseni üzerinde, $C$ y-ekseni üzerinde olduğundan $BC$ doğrusu yatay olamaz. Bu durum geçersizdir.

  • Durum 2: $|KL|=5$ ve $|LD|=2$.

    $x_L - 2 = 5 \implies x_L = 7$. Böylece $L=(7,0)$.

    $y_D = 2$. Böylece $D=(7,2)$.

    Bu durum geçerlidir.

• 5. $BC$ Doğrusunun Denklemini ve $B, C$ Noktalarını Bulma:

  $BC$ doğrusu $E(2,5)$ ve $D(7,2)$ noktalarından geçer. $B=(b,0)$ ve $C=(0,c)$ noktaları da bu doğru üzerindedir. Doğrunun denklemi $\frac{x}{b} + \frac{y}{c} = 1$ şeklindedir.

  • $E(2,5)$ için: $\frac{2}{b} + \frac{5}{c} = 1$ (Denklem 1)
  • $D(7,2)$ için: $\frac{7}{b} + \frac{2}{c} = 1$ (Denklem 2)

  Bu denklem sistemini çözelim. $1/b = X$ ve $1/c = Y$ diyelim:

  $2X + 5Y = 1$

  $7X + 2Y = 1$

  İlk denklemi 2 ile, ikinci denklemi 5 ile çarpalım:

  $4X + 10Y = 2$

  $35X + 10Y = 5$

  İkinci yeni denklemden birinci yeni denklemi çıkaralım:

  $(35X + 10Y) - (4X + 10Y) = 5 - 2$

  $31X = 3 \implies X = \frac{3}{31}$. Yani $\frac{1}{b} = \frac{3}{31} \implies b = \frac{31}{3}$.

  $X$ değerini $2X + 5Y = 1$ denklemine yerine koyalım:

  $2\left(\frac{3}{31}\right) + 5Y = 1$

  $\frac{6}{31} + 5Y = 1$

  $5Y = 1 - \frac{6}{31} = \frac{25}{31}$

  $Y = \frac{25}{31 \cdot 5} = \frac{5}{31}$. Yani $\frac{1}{c} = \frac{5}{31} \implies c = \frac{31}{5}$.

  Buna göre, $B=\left(\frac{31}{3}, 0\right)$ ve $C=\left(0, \frac{31}{5}\right)$.

• 6. $|BL| \cdot |CF|$ Çarpımını Hesaplama:
  • $L=(7,0)$ ve $B=\left(\frac{31}{3}, 0\right)$.
  • $|BL| = \left|\frac{31}{3} - 7\right| = \left|\frac{31 - 21}{3}\right| = \left|\frac{10}{3}\right| = \frac{10}{3}$.
  • $F=(0,5)$ ve $C=\left(0, \frac{31}{5}\right)$.
  • $|CF| = \left|\frac{31}{5} - 5\right| = \left|\frac{31 - 25}{5}\right| = \left|\frac{6}{5}\right| = \frac{6}{5}$.

  Çarpım: $|BL| \cdot |CF| = \frac{10}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{60}{15} = 4$.

Cevap B seçeneğidir.