Verilen bilgilere göre adımları takip ederek \(|HD| = x\) değerini bulalım:
- Adım 1: \( \triangle ABC \) üçgeninin özelliklerini belirleyelim.
Soruda \(m(\widehat{BAH}) = m(\widehat{HAC})\) ve \(AH \perp BC\) olduğu belirtilmiştir. Bir üçgende bir köşeden çıkan yükseklik aynı zamanda açıortay ise, bu üçgen ikizkenar üçgendir ve yükseklik aynı zamanda kenarortaydır.
Bu durumda, \( \triangle ABC \) ikizkenar üçgendir ve \(|AB| = |AC|\) olur. Verilen \(|AB| = 9\) cm olduğundan, \(|AC| = 9\) cm'dir.
Ayrıca, AH kenarortay olduğu için H noktası BC kenarının orta noktasıdır. Yani \(|BH| = |HC|\) dir.
- Adım 2: A, C, E noktalarının konumunu belirleyelim.
Şekle göre A, C, E noktaları doğrusaldır ve C noktası A ile E arasındadır. Verilen \(|AE| = 15\) cm ve \(|AC| = 9\) cm olduğundan, \(|CE|\) uzunluğunu bulabiliriz:
\(|AE| = |AC| + |CE|\)
\(15 = 9 + |CE|\)
\(|CE| = 15 - 9 = 6\) cm.
- Adım 3: \( \triangle BCE \) üçgeninde benzerlik veya orta taban özelliğini kullanalım.
H noktası BC'nin orta noktasıdır (\(|BH| = |HC|\)).
Soruda \(HD \parallel AE\) olduğu verilmiştir. C noktası AE üzerinde olduğundan, \(HD \parallel CE\) olur.
Şimdi \( \triangle BCE \) üçgenini inceleyelim: H, BC'nin orta noktasıdır ve HD, CE'ye paraleldir. Bir üçgende bir kenarın orta noktasından karşı kenara paralel çizilen doğru, diğer kenarı da ortalar ve uzunluğu paralel olduğu kenarın yarısı kadardır (Orta Taban Teoremi'nin uzantısı veya \( \triangle BHD \sim \triangle BCE \) benzerliği).
Bu durumda, \(|HD| = \frac{1}{2} |CE|\) olur.
- Adım 4: \(x\) değerini hesaplayalım.
Bulduğumuz \(|CE| = 6\) cm değerini yerine koyarsak:
\(x = |HD| = \frac{1}{2} \cdot 6\)
\(x = 3\) cm.
Cevap B seçeneğidir.