Verilen geometri problemini adım adım çözelim:

• 1. Kare DFGE'nin kenar uzunluğunu bulma:

  DFGE bir kare olup çevresi 16 cm olarak verilmiştir. Bir karenin çevresi 4 kenar uzunluğunun toplamıdır. Karenin bir kenar uzunluğuna \(a\) dersek:

  \(4a = 16 \text{ cm}\)

  \(a = \frac{16}{4} = 4 \text{ cm}\)

  Dolayısıyla, karenin tüm kenarları 4 cm'dir. Yani \(|DE| = |DF| = |FG| = |GE| = 4 \text{ cm}\).

• 2. Benzer üçgenleri belirleme:

  DFGE bir kare olduğu için, DE kenarı BC kenarına paraleldir (\(DE \parallel BC\)). Bu durumda, \(\triangle ADE\) üçgeni ile \(\triangle ABC\) üçgeni benzerdir.

• 3. Yükseklikleri ve tabanları ilişkilendirme:

  Verilen bilgilere göre, \(|AH| = x\) ve AH, \(\triangle ADE\)'nin DE tabanına ait yüksekliğidir.

  DFGE bir kare olduğundan, DF kenarı BC tabanına diktir ve uzunluğu 4 cm'dir. AH, DE'ye diktir ve DE ile BC paralel olduğundan, \(\triangle ABC\)'nin BC tabanına ait yüksekliği, AH yüksekliği ile karenin kenar uzunluğunun toplamı olacaktır.

  Yani, \(\triangle ABC\)'nin BC tabanına ait yüksekliği \(h_{BC} = |AH| + |DF| = x + 4 \text{ cm}\) olur.

• 4. Benzer üçgenlerde oranları kullanma:

  Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları ile karşılıklı yüksekliklerin oranları birbirine eşittir.

  \(\frac{\text{ADE üçgeninin yüksekliği}}{\text{ABC üçgeninin yüksekliği}} = \frac{\text{ADE üçgeninin tabanı}}{\text{ABC üçgeninin tabanı}}\)

  \(\frac{|AH|}{h_{BC}} = \frac{|DE|}{|BC|}\)

  Bilinen değerleri yerine yazalım:

  \(\frac{x}{x + 4} = \frac{4}{6}\)

• 5. Denklemi çözme:

  Denklemi sadeleştirelim ve x değerini bulalım:

  \(\frac{x}{x + 4} = \frac{2}{3}\)

  İçler dışlar çarpımı yaparsak:

  \(3x = 2(x + 4)\)

  \(3x = 2x + 8\)

  \(3x - 2x = 8\)

  \(x = 8\)

Buna göre, \(|AH| = x\) uzunluğu 8 cm'dir.

Cevap D seçeneğidir.