Verilen bilgilere göre, ABC dik üçgeninde DEFK bir karedir. Karenin bir kenar uzunluğunu \(x\) olarak belirleyelim. Bu durumda \(DK = EF = DE = FK = x\) olur.

• 1. Benzer Üçgenleri Belirleme:

ABC dik üçgeninde, A köşesi dik açıdır. DEFK kare olduğu için \(DK \perp BC\) ve \(EF \perp BC\)'dir.

Açıları inceleyelim:

• \(\angle B = \beta\) olsun.
• ABC üçgeni dik üçgen olduğundan, \(\angle C = 90^\circ - \beta\) olur.

Şimdi \(\triangle BDK\) üçgenine bakalım:

• \(\angle BDK = 90^\circ\) (karenin kenarı BC'ye dik).
• \(\angle B = \beta\).
• Bu durumda \(\angle BKD = 180^\circ - 90^\circ - \beta = 90^\circ - \beta\) olur.

Şimdi \(\triangle EFC\) üçgenine bakalım:

• \(\angle FEC = 90^\circ\) (karenin kenarı BC'ye dik).
• \(\angle C = 90^\circ - \beta\).
• Bu durumda \(\angle EFC = 180^\circ - 90^\circ - (90^\circ - \beta) = \beta\) olur.

Açıları karşılaştırdığımızda, \(\triangle BDK\) ve \(\triangle EFC\) üçgenlerinin açıları \(( \beta, 90^\circ, 90^\circ - \beta )\) ve \(( 90^\circ - \beta, 90^\circ, \beta )\) şeklindedir. Bu, iki üçgenin benzer olduğunu gösterir. Açı eşleşmelerine göre benzerlik: \(\triangle BDK \sim \triangle FCE\).

• 2. Benzerlik Oranlarını Kullanma:

Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir:

• \(\triangle BDK\)'da \(\beta\)'nın karşısındaki kenar \(DK\).
• \(\triangle FCE\)'de \(\beta\)'nın karşısındaki kenar \(CE\).
• \(\triangle BDK\)'da \(90^\circ - \beta\)'nın karşısındaki kenar \(BD\).
• \(\triangle FCE\)'de \(90^\circ - \beta\)'nın karşısındaki kenar \(FE\).

Bu oranları yazarsak:

\(\frac{DK}{CE} = \frac{BD}{FE}\)

• 3. Değerleri Yerine Koyma ve Çözüm:

Verilen değerleri ve karenin kenar uzunluğunu \(x\) olarak yerine koyalım:

• \(DK = x\)
• \(CE = 8\) birim
• \(BD = 2\) birim
• \(FE = x\)

Denklemimiz şu şekli alır:

\(\frac{x}{8} = \frac{2}{x}\)

İçler dışlar çarpımı yaparak \(x\)'i bulalım:

\(x \cdot x = 8 \cdot 2\)

\(x^2 = 16\)

\(x = \sqrt{16}\)

\(x = 4\) birim (uzunluk pozitif olmalıdır)

• 4. Karenin Alanını Hesaplama:

DEFK karesinin bir kenar uzunluğu \(x = 4\) birimdir. Karenin alanı \(A(DEFK) = x^2\) formülüyle bulunur.

\(A(DEFK) = 4^2 = 16\) birimkare.

Cevap C seçeneğidir.