Verilen geometri sorusunu adım adım, kısa ve öz bir şekilde çözelim:

• Paralellik ve Açıortay Özelliği:

  Verilen bilgilere göre, \([DE] // [BC]\) ve \([BK]\) ile \([CK]\) açıortaydır.

  • \([BK]\) açıortay olduğundan, \(\angle KBC = \angle ABK\).
  • \([DE] // [BC]\) olduğundan, iç ters açılar eşittir: \(\angle DKB = \angle KBC\).
  • Bu iki bilgiyi birleştirirsek, \(\angle DKB = \angle ABK\) elde ederiz. Bu durumda, \(\triangle DBK\) bir ikizkenar üçgendir ve eşit açılar karşısındaki kenarlar eşittir: \(|DK| = |DB|\).
  • Soruda \(|DB| = 3\) birim verildiğinden, \(|DK| = 3\) birim olur.
  • Benzer şekilde, \([CK]\) açıortay olduğundan, \(\angle KCB = \angle ACK\).
  • \([DE] // [BC]\) olduğundan, iç ters açılar eşittir: \(\angle EKC = \angle KCB\).
  • Bu iki bilgiyi birleştirirsek, \(\angle EKC = \angle ACK\) elde ederiz. Bu durumda, \(\triangle EKC\) bir ikizkenar üçgendir ve eşit açılar karşısındaki kenarlar eşittir: \(|EK| = |EC|\).
  • Soruda \(|EC| = 5\) birim verildiğinden, \(|EK| = 5\) birim olur.

• \(|DE|\) Uzunluğunun Hesaplanması:

  \(|DE|\) uzunluğu, \(|DK|\) ve \(|KE|\) uzunluklarının toplamıdır:

  \(|DE| = |DK| + |KE| = 3 + 5 = \mathbf{8}\) birim.

• Benzer Üçgenler ve Kenar Uzunlukları:

  \([DE] // [BC]\) olduğundan, \(\triangle ADE\) üçgeni ile \(\triangle ABC\) üçgeni benzerdir (\(\triangle ADE \sim \triangle ABC\)).

  Benzerlik oranı \(k = \frac{|DE|}{|BC|}\) ile bulunur:

  \(k = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\).

  Bu benzerlik oranını kullanarak \(|AD|\) ve \(|AE|\) kenar uzunluklarını bulabiliriz:

  • \(\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{2}{3}\). Ayrıca \(|AB| = |AD| + |DB|\) olduğundan, \(\frac{|AD|}{|AD| + 3} = \frac{2}{3}\).
    \(3|AD| = 2(|AD| + 3) \Rightarrow 3|AD| = 2|AD| + 6 \Rightarrow |AD| = \mathbf{6}\) birim.
  • \(\frac{|AE|}{|AC|} = \frac{2}{3}\). Ayrıca \(|AC| = |AE| + |EC|\) olduğundan, \(\frac{|AE|}{|AE| + 5} = \frac{2}{3}\).
    \(3|AE| = 2(|AE| + 5) \Rightarrow 3|AE| = 2|AE| + 10 \Rightarrow |AE| = \mathbf{10}\) birim.

• \(\triangle ADE\) Üçgeninin Çevresi:

  \(\triangle ADE\) üçgeninin çevresi, kenar uzunluklarının toplamıdır:

  \(\text{Çevre}(\triangle ADE) = |AD| + |AE| + |DE|\)

  \(\text{Çevre}(\triangle ADE) = 6 + 10 + 8 = \mathbf{24}\) birim.

Cevap C seçeneğidir.