Adım adım çözüm:

• 1. Kenar Uzunluklarını Oranlama:
• Verilen bilgilere göre, |BF| = k diyelim.
• |AD| = |BF| olduğundan, |AD| = k olur.
• 2|BF| = |DF| olduğundan, |DF| = 2k olur.
• Bu durumda, |AF| = |AD| + |DF| = k + 2k = 3k olur.
• Ve |AB| = |AD| + |DF| + |FB| = k + 2k + k = 4k olur.
• 2. Benzer Üçgenler ve Paralel Doğrular:
• DE // BC olduğundan, \triangle ADE \sim \triangle ABC (ADE üçgeni ABC üçgenine benzerdir).
• Benzerlik oranı: \frac{|AD|}{|AB|} = \frac{k}{4k} = \frac{1}{4}.
• Dolayısıyla, \frac{|DE|}{|BC|} = \frac{1}{4} \implies |DE| = \frac{1}{4}|BC| (Denklem 1).
• Aynı şekilde, FK // BC olduğundan, \triangle AFK \sim \triangle ABC (AFK üçgeni ABC üçgenine benzerdir).
• Benzerlik oranı: \frac{|AF|}{|AB|} = \frac{3k}{4k} = \frac{3}{4}.
• Dolayısıyla, \frac{|FK|}{|BC|} = \frac{3}{4} \implies |FK| = \frac{3}{4}|BC| (Denklem 2).
• 3. AC Kenarındaki Oranlar:
• \triangle ADE \sim \triangle ABC benzerliğinden \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{1}{4} elde edilir. Bu da |AE| = \frac{1}{4}|AC| demektir.
• \triangle AFK \sim \triangle ABC benzerliğinden \frac{|AK|}{|AC|} = \frac{3}{4} elde edilir. Bu da |AK| = \frac{3}{4}|AC| demektir.
• |CE| = |AC| - |AE| = |AC| - \frac{1}{4}|AC| = \frac{3}{4}|AC| olur.
• |CK| = |AC| - |AK| = |AC| - \frac{3}{4}|AC| = \frac{1}{4}|AC| olur.
• Bu oranları kullanarak \frac{|CK|}{|CE|} = \frac{\frac{1}{4}|AC|}{\frac{3}{4}|AC|} = \frac{1}{3} bulunur.
• 4. \triangle CLK ve \triangle CDE Benzerliği:
• DE // FK ve L noktası FK üzerinde olduğundan, LK // DE olur.
• Bu durumda, \triangle CLK \sim \triangle CDE (CLK üçgeni CDE üçgenine benzerdir).
• Benzerlik oranı \frac{|CK|}{|CE|} = \frac{1}{3} olduğundan, \frac{|LK|}{|DE|} = \frac{1}{3} olur.
• |LK| = 1 birim verildiğine göre, \frac{1}{|DE|} = \frac{1}{3} \implies |DE| = 3 birim bulunur.
• 5. |BC| ve |FK| Uzunluklarını Bulma:
• Denklem 1'den |DE| = \frac{1}{4}|BC| idi. 3 = \frac{1}{4}|BC| \implies |BC| = 12 birim.
• Denklem 2'den |FK| = \frac{3}{4}|BC| idi. |FK| = \frac{3}{4} \times 12 = 9 birim.
• 6. x Değerini Bulma:
• |FK| = |FL| + |LK| olduğunu biliyoruz.
• 9 = x + 1
• x = 8 birim.

Cevap E seçeneğidir.