Soruyu çözmek için Temel Orantı Teoremi'ni (Thales Teoremi) ve benzer üçgenler prensibini kullanacağız.

• Verilen bilgilere göre, DE // BC olduğundan, \(\triangle ADE\) üçgeni \(\triangle ABC\) üçgenine benzerdir (\(\triangle ADE \sim \triangle ABC\)).

• Benzerlik oranını bulalım. Bize \(8|DE| = 3|BC|\) verilmiş. Bu ifadeyi oran şeklinde yazarsak:

  \(\frac{|DE|}{|BC|} = \frac{3}{8}\)

  Bu oran, üçgenlerin benzerlik oranıdır (k).

• Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları benzerlik oranına eşittir:

  \(\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|DE|}{|BC|} = \frac{3}{8}\)

• Şimdi \(|BD|\) uzunluğunu bulalım. \(|AD| = 9\) cm olarak verilmiş. \(|AB| = |AD| + |BD|\) olduğundan:

  \(\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{9}{9 + |BD|} = \frac{3}{8}\)

  İçler dışlar çarpımı yaparak:

  \(9 \times 8 = 3 \times (9 + |BD|)\)

  \(72 = 27 + 3|BD|\)

  \(45 = 3|BD|\)

  \(|BD| = 15\) cm.

• Şimdi \(|AE|\) uzunluğunu bulalım. \(|CE| = 20\) cm olarak verilmiş. \(|AC| = |AE| + |CE|\) olduğundan:

  \(\frac{|AE|}{|AC|} = \frac{|AE|}{|AE| + 20} = \frac{3}{8}\)

  İçler dışlar çarpımı yaparak:

  \(8 \times |AE| = 3 \times (|AE| + 20)\)

  \(8|AE| = 3|AE| + 60\)

  \(5|AE| = 60\)

  \(|AE| = 12\) cm.

• Son olarak, bizden istenen \(|BD| + |AE|\) toplamını hesaplayalım:

  \(|BD| + |AE| = 15 + 12 = 27\) cm.

Cevap B seçeneğidir.